线性代数 1.4初等变换.ppt

矩阵的初等变换 1. 2.初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 矩阵的初等变换 3. 4.矩阵等价具有的性质 (1)反身性(2)对称性(3)传递性 思考题 思考题解答 第一章 矩阵 §1.4 初等变换与初等矩阵 定理1.2. ?m?n矩阵A, ?m阶初等矩阵 P1, P2, …, Ps s.t. P1P2…PsA为行最简形. ? 例如, 0 1 2 2 4 ?2 2 4 ?2 0 1 2 ?1/2 1 2 ?1 0 1 2 ?(?2) 1 0 ?5 0 1 2 A = A 0 1 1 0 = A 0 1 1 0 1/2 0 0 1 A 0 1 1 0 1/2 0 0 1 = 1 ?2 0 1 第一章 矩阵 §1.4 初等变换与初等矩阵 ? 定理1.3. ?m?n矩阵A, ?m阶初等矩阵 P1, P2, …, Ps 及m阶初等矩阵 Q1, Q2, …, Qt s.t. P1P2…PsAQ1Q2…Qt = E , m?n (r) 其中r为一个不超过min{m, n}的非负 整数. ?定理1.6 第一章 矩阵 §1.4 初等变换与初等矩阵 ? 例如, 0 1 2 2 4 ?2 1 0 0 0 1 2 1 0 ?5 0 1 2 A = A 0 1 1 0 1/2 0 0 1 = 1 ?2 0 1 初等 行变换 ?5 ?(?2) 1 0 5 0 1 0 0 0 1 A 0 1 1 0 1/2 0 0 1 1 ?2 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 5 0 1 0 0 0 1 A 0 1 1 0 1/2 0 0 1 1 ?2 0 1 1 0 0 0 1 ?2 0 0 1 作业　 Ｐ４８　二１，２ P52 14,16 * * * 第一章 矩阵 §1.4 初等变换与初等矩阵 §1.4 初等变换与初等矩阵 一.消元法解线性方程组 ? 公元前1世纪,《九章算术》 初等变换, 相当于高斯消元法 ? 线性方程组的一般形式 什么是初等变换? 用矩阵形式表示此线性方程组： 令 则，线性方程组可表示为 如何解线性方程组？ 可以用消元法求解。 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换： （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． 引例 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． ?2x1 ? 3x2 + 4x3 = 4 x1 + 2x2 ? x3 = ?3 2x1 + 2x2 ? 6x3 = ?2 第一章 矩阵 §1.4 初等变换与初等矩阵 ?2x1?3x2+4x3 = 4 x1+2x2 ?x3 = ?3 2x1+2x2 ?6x3 = ?2 x1+2x2 ?x3 = ?3 ?2x1?3x2+4x3 = 4 x1 + x2?3x3 = ?1 x1+2x2 ?x3 = ?3 x2+2x3 = ?2 ?x2?2x3 = 2 ?2 ?(?1) x1+2x2 ?x3 = ?3 x2+2x3 = ?2 0 = 0 ?1/2 ?1 ?2 ?3 4 4 1 2 ?1 ?3 2 2 ?6 ?2 轻装上阵 1 2 ?1 ?3 ?2 ?3 4 4 1 1 ?3 ?1 ?1/2 1 2 ?1 ?3 0 1 2 ?2 0 ?1 ?2 2 ?2 ?(?1) 1 2 ?1 ?3 0 1 2 ?2 0 0 0 0 ?1 ? 第一章 矩阵 §1.4 初等变换与初等矩阵 x1+2x2 ?x3 = ?3 x2+2x3 = ?2