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* * 线性代数复习 一. 行列式 1. 定义 2. 性质 （1）detA=detAT, (2)若 （3）若 （4） （5） （6）若A，B是n阶方阵，则det(AB)=det(A)det(B) （7）若A是n阶方阵，det(kA)=kndet(A) 3. 按一行（列）展开 ai1Aj1+ai2Aj2+?+ainAjn= 4. 算法 （1）每行（列）和相等的行列式； （2）箭形行列式； （3）三对角行列式； （4）范德蒙行列式； （5）块上（下）三角行列式； （6）升阶法； （7）数学归纳法(证明). 例 1 例2 已知3阶方阵A=(a1,a2,a3), det(A)=2, 3阶方阵 B=(a1-a2+2a3,a2+a3,a2-a3), 求det(B). 注：利用矩阵运算； 例3 已知3阶方阵A的行列式det(A)=2, 求det(A-1-2A*) 例4 求例1中的第一行代数余子式之和. 矩阵 1. 矩阵的定义 2. 矩阵的运算 3. 矩阵的初等变换及初等矩阵(E(i,j),E(i(k),E(i,j(k))) 矩阵的等价变换（矩阵的秩） 4. 矩阵的相似变换(特征值，特征向量，对角化， 实对称矩阵正交相似对角阵) 5. 矩阵的合同变换(二次型，正交变换化二次型为标 准形，正定二次型，正定矩阵） 例1 2?2方阵X 满足 AXB=2AX+C, 其中A, B, C是 已知二阶方阵，求X; (A+E)-1(A2-2A+3E) 例2 三阶方阵P,A, A=(a1,a2,a3), 如果 AP=(2a1,a1+a2,a3-a1) ,则P=______ 例3 设A是m?n的矩阵，且mn，则det(AAT)=___ 例4 设A 是列满秩矩阵，证明:det(ATA)0 例5 设A是实对称矩阵，证明：对于?x?0,都有 xTAx/xTx?max ?(A) 例6 求f=x2+y2+z2-2xy-2yz-2xz在满足x2+y2+z2=1的条件下的最大值与最小值。 例7 设A是3阶方阵，rankA=1, det(A+3E)=0,问A 是否可对角化?说明理由. 例8 证明：若n阶方阵A满足A2=A,则 rank(A-E)+rankA=n，且A可对角化。 例9 设A为n阶方阵，证明： 向量空间 1. 定义 2.向量组的线性关性 线性相关?一个向量可由其余向量线性表示； ? 矩阵的秩小于向量的个数. 向量组(I)可由向量组(II)线性表示?(I)秩≦ (II)秩 3. 基（标准正交基）与坐标 4. 基变换与坐标变换 5. 向量空间 V={x?Ax=0}或V=L(?1,?2,?,?n) 四. 应用 1. 线性方程组Ax=b有解?rank(A b)=rankA； 当rank(A b)=rankAn, 有无穷多解； 当rank(A b)=rankA=n, 有唯一解； 2. 求An； 3. 二次曲面xTAx=1 为椭球面? A是正定矩阵. 例1 设A是n阶方阵，x 是n维列向量，若存在一正整数k使得 Ak-1x?0，Akx=0，证明： 向量组x, Ax, ?,Ak-1x 线性无关. 例2 设A是三阶方阵，?1,?2是A的两个互异特征值，x1与x2是对应的特征向量，又Ax3= x2+ ?2 x3, 证明向量组x1, x2, x3线性无关。 例3 设向量空间 V={(x1,x2,?xn)|x1-2x2=0, x2+x3-x4=0, x1-x2+x3-x4=0}, 则dimV=_______ 例4 设A,B分别是m?n与n?p 矩阵，且AB=0，证明 rankA+rankB?n 例5 设矩阵A,B 都是 n 阶方阵，证明：若rankA+rankBn, 则Ax=0与Bx=0必有公共非零解。 例6 若方阵A,B满足