线性代数居余马第3章 线性方程组.ppt

第3章 线性方程组 3.1 n 维向量及其线性相关性 3.1 n 维向量及其线性相关性 3.2 向量组的秩及其极大线性无关组 3.3 矩阵的秩 相抵标准形 3.4 齐次线性方程组有非零解的条件 及解的结构 1.齐次线性方程组有非零解的充要条件 3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构 4. 矩阵的相抵标准形 相抵关系( ?) 是一个等价关系。具有性质： (1) 反身性， 即A ? A ; (2) 对称性：若A ? B，B ? A； (3) 传递性：若A ? B, B ? C, 则A ? C。 定义3.10 设 A是 m?n 矩阵， A 经过初等变换化为 B (或存在可逆矩阵 P 和 Q, 使得 PAQ=B），就称A相抵于B (或A等价于B)，记作 A ? B . 定理 3.11 若 秩(Am?n)= r，则一定存在可逆矩阵P (m阶）和Q（n阶）使得 证： A可以经一系列行初等变换化为阶梯形矩阵Ur，即存在初等阵P1 ,.P2, …Ps, 使得. Ps … P2P1 A= Ur , 再对 Ur 做倍加列变换和列对换,即存在初等阵Q1 ,.Q2, …,Qt，使得 其中Ir 为r阶单位矩阵。 UrQ1 Q2 … Qt = U 令Ps … P2P1 =P， Q1 Q2 … Qt =Q (P,Q均可逆) ，则 称矩阵U为A 的相抵(或等价)标准形。所有秩为r 的m?n矩阵都相抵于U 。 *例3． 设A是m?n矩阵(mn), 秩(A) = n. 证明：存在n?m矩阵B, 使BA=In. 证：A是m?n矩阵，秩(A) = n, 则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q, 使得 则 其中01是(m?n)?n零矩阵; 02是n ?(m?n)零矩阵。 故存在n?m矩阵B=CP, 使BA=In 。 解: 若a=1, 则A的各行成比例，r(A)=1。所以，排除a=1。 例4. 设n 阶矩阵 (n?3) 若矩阵A的秩为n 或 n ?1，则a必为____。 (1) 若 k = 1+(n ?1)a ?0 即 第一列乘 再将各行减去第一行，得到 可知 a?1且 时， r(A)=n。 利用初等变换不改变矩阵的秩，将A的各列加到第一列。 (2) 若 所以，r(A)= n ?1。 即 k = 1+(n?1)a =0。 A的各列加到第1列。 再将第2，?， n行各行都减去第1行 再将第2，? ,n行各行都乘 加到第1行，将第1行化为全零行 例5. 设 已知r(A)=2, 求t。 解： 利用初等变换不改变矩阵的秩，将A化为B。 B中第2，3行成比例, 以Am?n为系数矩阵的齐次线性方程组 Ax=0 当A按列分块为 A=(?1, ?2 ,?, ?n), 列向量 x=[x1, x2,?, xn ]T 时， 方程组表示为向量方程： x1 ?1 + x2 ?2+?+ xn ?n=0。 定理3.12 齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充要条件是 r(A)=r( ?1, ?2 ,?, ?n) n ，或 ?1, ?2 ,?, ?n线性相关。 当r(A)=r时，对A做初等行变换，可化为行阶梯形矩阵 Ax=0 与Ux=0为同解方程组 有非零解的充要条件:rn 。 推论1： A为m?n矩阵, A x=0 只有零解的充要条件:r=n。 推论2： A为n阶矩阵时, A x=0 有非零解的充要条件:?A ?=0。 证： 设 B =(b1, b2,…, bn)， AB=0, 即 A (b1, b2,…, bn)= (A b1, A b2,…, A bn)=(0,0, …, 0)。 例1 设A是n阶矩阵，证明：存在n?s矩阵B?0,使得AB=0 的充要条件是:?A ?=0。 A bi=0（ i=1,2, …, n) 意味着B的每一列都是A x=0 的解。 由 B?0，即A x=0 有非零解。所以，?A ?=0。 反之，若?A ?=0， A x=0有非零解。取非零解为 B 的 s 个 列向量。则 B ?0, 且AB=0。 2. 齐次线性方程组解的结构 定理3.13 齐次线性方程组A x=0 的任意两个解x1，x2 的 线性组合k1 x1+k2 x2(k1 ,k2 为任意常数) 也是它的解。 证：因为A(k1 x1+k2 x2)= k1 A x1+k2 Ax2= k1 0+k2 0=0。 定义3.13 设 x1, x2,?, xp 是Ax=0 的解向量，且Ax=0 的 任意一个解向量都可由 x1, x2,?, xp 线性表示，则称 x1, x2,?, xp为Ax=0的一个基础解系。