线性代数第12讲.ppt

线性代数第12讲 正交矩阵及其性质 定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I, 就称A为正交矩阵.定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A的列向量组为Rn的一组标准正交基.证 设 按列分块为[a1,a2,...,an], 于是 因此ATA=I的充分必要条件是 定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则:(i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵.证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立,(ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT,(iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标准正交基,(iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得AB也是正交矩阵. 定理6 若列向量X,Y?Rn在n阶正交矩阵A作用下变换为AX, AY?Rn, 则向量的内积与长度及向量间的夹角都保持不变, 即 (AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|, {AX,AY}={X,Y}.证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y =XTY=(X,Y).当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因此 所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同. 4.3 线性空间的定义及简单性质 定义 数域F上的线性空间V是一个非空集合, 其上定义有加法a+b和数乘la的运算, 其中a,b?V, l?F, V对两种运算封闭且满足性质:?a,b,g?V, ?k,l?F(1) a+b=b+a(2) (a+b)+g=a+(b+g)(3) ?q?V, a+q=a, q称为V的零元素(4) ?-a?V, a+(-a)=q, -a称为a的负元素(5) 1a=a(6) k(la)=(kl)a(7) (k+l)a=ka+la(8) k(a+b)=ka+kb F为实(复)数域时, 称为实(复)线性空间, 简称实(复)空间.线性空间V中元素也常称为向量, 线性空间中的加法和数乘运算称为线性运算.显然, 三维几何向量空间和Rn都是线性空间的具体模型. 例1 数域F上的全体多项式F[x], 对通常的多项式加法和数乘多项式的运算构成数域F上的线性空间. 所有次数小于n的多项式, 也构成数域F上的线性空间, 记作F[x]n例3 区间[a,b]上的全体实连续函数, 对通常的函数加法和数与函数的乘法运算构成实数域上的线性空间, 记作C[a,b]. 在(a,b)上全体k阶导数连续的实函数Ck(a,b)对同样的加法和数乘运算也构成实线性空间. 由线性空间的定义可证下列性质:(i) 线性空间的零元素是唯一的.(ii) 线性空间中任一元素a的负元素是唯一的.(iii) 若a,b?V, k?F, 则有 k(a-b)=ka-kb (k-l)a=ka-la(iv) kq=q, k(-b)=-(kb), 0a=q, (-l)a=(-(la), 特别, (-1)a=-a, 以后, -(la)简记作-la.(v) 设a?V, k?F, 若ka=q, 则k=0或a=q. 4.4 线性子空间 定义1 设V(F)是一个线性空间, W是V的一个非空子集合, 如果W对V(F)中定义的线性运算也构成数域F上的线性空间, 就称W为V(F)的一个线性子空间(或简称子空间)定理1 线性空间V(F)的非空子集合W为V的子空间的充分必要条件是W对于V的两种运算封闭.在线性空间V中, 由单个零向量组成的子集合{q}是V的一个子空间, 叫做零子空间; V本身也是V的一个子空间, 这两个子空间也叫做V的平凡子空间, 其它子空间叫非平凡子空间. 例2 设A是m?n矩阵, 则齐次线性方程组AX=0的解集合 S={X|AX=0}是Fn的一个子空间, 叫做齐次线性方程组的解空间(也称矩阵A的零空间, 记作N(A)). 但是非齐次线性方程组AX=b的解集合不是Fn的子空间. 定理2 设V是数域F上的线性空间, S是V的一个非空子集合, 则S中一切向量组的所有线性组合组成的集合 W={k1a1+...+kmam|ai?S, ki?F, i=1,...,m}是V中包含S的最小的子空间. 定理2中的W称为由V的非空子集S生成的V的子空间, 或者说S生成W, 当S为有限子集{a1,a2,...,am}时, 记W=L(a1,a2,...,am), 并称W是由向量组a1,a2,...,am生成的子空间例如, 齐次线性方程组AX=0的解空间是由它的基础解系生成的子空间; R3中任一个过原点的平面上的全体向量所构成的子空间, 由由该平