线性代数第五讲.doc

§1.6 若干特殊矩阵 对称矩阵与反对称矩阵 定义 设A是n阶方阵。若，则称A是对称矩阵；若，则称A是反对称矩阵。 例 设A是任一n阶方阵，则是对称矩阵，是反对称矩阵。 例 设A是任一方阵，则A可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。 例 设A与B是两个n阶对称矩阵，I是n阶单位矩阵。证明：若A与均可逆，则也是对称矩阵。 证明 只需证 。 ▌ 二、对角矩阵 定义 下列主对角线以外的元素全为零的n阶方阵 称为对角矩阵。 对角矩阵通常简记为 或 当 时 ， 我们称之为数量矩阵。若k = 1，则数量矩阵即是单位矩阵。 例 对角矩阵的秩等于其非零主对角元的个数。 例 对角矩阵的和、差、积也是对角矩阵。 例 对角矩阵A = 可逆的充分必要条件是全不为零。当A可逆是， 。 定义 设A 是分块矩阵 A=, 若子块全是方阵，则称A是准对角矩阵， 简记为 。 例 设A是准对角矩阵 则A可逆的充分必要条件是子块均可逆。当A可逆时， 三、三角矩阵 定义 设A与B是两个n阶方阵 则称A是上三角矩阵，B是下三角矩阵。 例 三角矩阵可逆的充分必要条件是其主对角元全不为零。 小结：1.熟练掌握矩阵的基本运算与性质 加法、数乘、乘法、幂、转置 2.熟练掌握初等行变换化阶梯形 3.熟练掌握方阵可逆的有关结论 可逆性的判别、逆矩阵的计算、解矩阵方程 4.熟练掌握Gauss消元法 解的判别、求解 例 解矩阵方程的初等变换法： （1）已知已知矩阵方程 AX=B，其中A可逆。 （A，B）（I，AB）=（I，X） （2）已知已知矩阵方程 XA=B，其中A可逆。 例 已知矩阵与矩阵B 。 满足 AX=B，求X。 解 （法一）由前例已得 ， 故 。 （法二） （A，B）= ， 由此得 X。▌ 例 已知结论“若方阵A满足 且，则A不可逆”的下述两种证明，请指出哪个方法正确。对不正确的方法，请举例说明其问题所在： （法一）因为，故 ……………….① 因为，故 。于是由①得，A=O。因此A不可逆。 （法二）反证：若A可逆，则由 得 ， 即 。与已知条件矛盾。因此A不可逆。 例 可逆的上（下）三角矩阵的逆矩阵也是上（下）三角矩阵。 证明 对上三角矩阵的阶数作归纳法 ：设 可逆，则容易得到 ， 故结论对2阶上三角矩阵成立。 ：设结论对阶上三角矩阵成立。 ：证明结论对阶上三角矩阵成立。 设 若可逆，则 均不为零，而也是上三角阵，故可逆。 设是的逆矩阵，根据，对的分块 ， 其中是阶方阵。因 由此得 因是阶可逆上三角矩阵，故由归纳法假设可得：的逆矩阵也是上三角矩阵。又可逆，故，又可得。于是 也是上三角矩阵。▌ 例 设A=是n阶方阵。若下列方阵 ， （称为A的顺序主子阵）均满秩，则A可表示成 A = LU 其中L是主对角元全为1的n阶下三角矩阵，U是n阶可逆上三角矩阵。上式称为A的三角分解。 对线性方程组 若系数矩阵A存在三角分解A = LU，则上述方程组的求解可转化为解下述两个阶梯形方程组 对只需前代、对只需回代即可分别求解。 例 某林场计划种植供圣诞节用的小松树。这些松树按照高度在市场上以不同的价格出售。为此，可把它们根据不同的高度段分成若干类，如下表： 类 售价 高度段 1 （树苗） 无 2 n  林场管理者需面对两个问题： (1)经营活动（企业生产）的可持续性； (2)在可持续性的前提下，每年获得最大收益。 讨论：(1) 为满足此条件，要求： 每次只能采伐部分树木； 每次采伐后，应及时补种数目相同的树苗； 补种后，树林的结构与生长期之前相同 令表示生长期开始时，第类中 树的棵数，称 为非采伐向量。 显然， 是树林中树木的总量，它由树木的品种及林场面积所确定。而即为保持可持续生产所应维持不变的树林结构。 令表示第类树中在一个生长期内上升到第类中的比值，称 为生长矩阵。这里由树木的品种、当地气候与土壤条件、以及林木维护等因素所确定。 因 故表示了经过一个生长期后，在采伐前树林的结构。 令表示在一次采伐中，从第类中砍取的树木棵数，称 为