线性代数第五章第二节.ppt

引例 主要内容 特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量的求法 特征值与特征向量的性质 第 二 节 特征值与特征向量 方程组等问题，也都要用到特征值的理论. 工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定 性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征 向量的问题. 数学中诸如方阵的对角化及解微分 一、引例 作下面的乘法得 引例 设 只是原像的倍数. 我们可以从映射的角度看待上述运算，即 由二阶实矩阵 A 定义了一个由全体二元实向量 集合 R2 到 R2 自身的一个映射，它的对应法则 ??a ? R2 ? Aa ? R2 . 在此映射下，二元实向量 a1，a2 的像 Aa1，Aa2 为： 向量有些什么性质？ 从几何上看，像与原像在一条直线上，而 向 量 a3 的像 Aa3 就 不 具有这个性质. 我们把 a1，a2 称为矩阵 A 的特征向量， 数 -1 与 3 分别 称为a1，a2 对应的特征值. 那么，是否任何一 个方阵都有特征值与特征向量？ 特征值与特征 题. 这是本节要讨论的主要问 量. 二、特征值与特征向量的概念 定义 6 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 ? 和 n 维非零列向量 x 使关系式 Ax = ? x （1） 成立， 那么，这样的数 ? 称为方阵 A 的特征值， 非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 ? 的特征向 1. 定义 | A - ?E | = 0 ， 即 （1）式也可写成 (A - ?E)x = 0 ， （2） 这是 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组， 它有非零解的充要条件是系数行列式 值. 上式是以 ? 为未知数的一元 n 次方程，称为 方阵 A 的特征方程. 其左端 | A - ?E | 是 ? 的 n 次多项式，记作 f(?), 称为方阵 A 的特征多项式. 显然，A 的特征值就是特征方程的解. 特征方程 在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重 根按重数计算）， 因此，n 阶方阵 A 有 n 个特征 2. 特征值的性质 (2) ?1?2 ··· ?n = | A |. 设 ?1 , ?2 , ··· , ?n 是 n 阶方阵 A = (aij) 的 n 个 特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则 (1) ?1 + ?2 + ··· + ?n = a11 + a22 + ··· + ann ; 特征向量. 三、特征值与特征向量的求法 求矩阵 A 的特征值与特征向量的步骤如下： Step 1 ：计算 A 的特征多项式，并求出特 征方程的所有根. 设矩阵 A 有 s 个不同的特征值 ?1 , ?2 , ··· , ?s . Step 2 : 对 A 的每个特征值 ?i ( i = 1, 2, ···, s ), 求解齐次线性方程组 (A - ?i E ) x = 0，该 方程组的全部解即为矩阵 A 的对应于 ?i 的全部 例 7 设矩阵 求 A 的特征值与特征向量. 例 8 设矩阵 求 A 的特征值与特征向量. 例 9 设矩阵 求 A 的特征值与特征向量. 例 10 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2 = E), 且 A 的特征值都是 1 , 证明 : A = E .