线性数据拟合方法的误差分析及其改进应用.pdf

第 29卷第 1期 大 学 数 学 Vo1．29，№ ．1 2013年 2月 COLLEGE MATHEMATICS Feb．20i3 线性数据拟合方法的误差分析及其改进应用 周 浩 (郑州大学 ，河南 郑州 450001) [摘 要]利用最小二乘法进行线性数据拟合在一定条件下存在着误差较大的缺陷，为使线性数据拟合 方法在科学实验和工程实践中能够更加准确地求解量与量之间的关系表达式，本文通过对常用线性数据拟 合方法——最小二乘法进行 了误差分析 ，并在此基础上提 出了最小距离平方和法 以对最小二乘法作改进处 理．最后 ，通过举例分析对两种线性数据拟合方法的优劣加以讨论并分别给出其较为合理的应用控制条件． [关键词]数据拟合 ；最小二乘法 ；误差分析 ；最小距离平方和法 ；线性相关 [中图分类号]0241．2 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2013)01—0070—07 I 前 言 科学实验和工程实践 中经常需要借助实验数据或观测数据发现量之间的依赖关系，即量与量之 间 的解析表达式 ，借助于这种解析表达式对未知数进行预测或插补延长 ，如工程水文学中确定上、下游站 水位 (或流量)相关关系 ，由已知短期水文资料插补延长水文系列以确定相关工程参数等． 数值分析中线性拟合的原理是：给定一组观测数据 (或称待拟合点、散点等)(z，Y)(一1，2，3，…，)， 在某一类 曲线中寻找一条最佳 曲线 Y一 (z)，使该 曲线拟合这些数据 ，曲线类的选取要靠经验和对数 据的直观分析 ，因此有时称为经验公式 ，最佳的标准为使总体误差最小．如果采用绝对误差 ，数学上采用 微积分知识求最小值不容易处理 ，因此通常采用最小二乘法来处理． 但是最小二乘法是一种简化处理办法 ，它采用纵向(Y向)离差代替综合离差 (z向和Y向)，降低 了运算复杂度 ，但同时带来了一定 的误差． 2 最小二乘法误差分析 本文的研究主要是基于线性数据拟合 ，即给定一组散点 ( ，Y)(一1，2，3，…，)大致呈现在一条 直线上，那么由经验知道它们大体呈直线关系，在直线类 Y一 +b中寻找一条最佳直线拟合这些数据 点．在z处的观测值为Y ，与拟合值 +b的误差为 lY一(船 +6)I，求最佳直线就是求一对a，b 值 ，使得 棚 (n，b)一 [Yl一 (aJc+b)] (1) i=1 最小．由于采用的是误差的平方和最小 ，因此这种方法称为最小二乘法．从利用微分学求导计算最小值 的角度看 ，用二乘误差比用绝对值误差容易求最小值 ，因为带绝对值的导数讨论起来 比较麻烦． 另一方面，从式 (1)可 以看 出最小二乘法属于单方 向(沿坐标轴纵轴 Y向)的数据拟合 ，即用 一 JY一 (ax +6)l表示待拟合点 (z，Y)到拟合直线的长度．显然，无论从图解上还是数学运算中 均不是点到直线长度的最小值 ，因为它只是单方 向(Y向)拟合 ，忽略了拟合直线的斜率不同也会影响 [收稿 日期]2010—12—06 第 1期 周浩：线性数据拟合方法的误差分析及其改进应用 71 到拟合误差 的大小． 但这是一种十分重要的简化处理手段，假定 (z ，Yi)到拟合直线的最短距离用d表示 ，那么最小二 乘法则认为在一定程度上 ， 的大小反映了d 的大小．这种思想给利用矩 阵理论进行线性或非线性拟 合 中的数据处理提供 了方便． 为此 ，可以通过图示来进一步分析二者的差别．假定拟合曲线方程为 Y一 +b，其与 轴正 向的 夹角为a，则有 tana=口．过任意一待拟合点 (z ，Y)作出其到拟合直线的两条线段 和di，显然二者 存在几何关系