线积分与面积分.doc

第四章 線積分與面積分 4.1 線積分 在基本微積分中，我們知道單變數積分的幾何意義就是求單變數函數圖形與X軸之間的面積，其做法為將圖形下的區域沿著X軸切割成許多的長方條(元素)，然後將這些長方條的面積沿著X方向累加而形成所謂的Riemann sum並取其極限值後，即定義所謂的定積分。換言之，我們過去所學的積分概念是針對單變數函數沿著直線座標軸X(或Y)來求面積。 而接下來所要介紹的線積分（line integral）是針對雙變數函數沿XY平面上一曲線方向的積分。在幾何上，雙變數函數代表空間中的一個曲面，故線積分就是要求該曲面與XY平面上之曲線間所包圍之區域的面積。所以線積分可以說是前述單變數定積分之一般化的結果。 從數學上的幾何觀點定義線積分 假設C為XY平面上之曲線，並以參數表示為： 且雙變數函數f為x、y之函數，表空間中一曲面。現若將曲線C切割成許多段的小弧，且各弧長為，則曲面與曲線間所包圍的區域面積可表為： 此式稱為f沿曲線C之線積分。 Z Y C Y X X C 由上圖可知，當很小時，近似一直線，故由畢氏定理可知 又由均值定理可得： 所以 當，，故線積分的參數公式可寫為： 特例1 若C為X軸上的一直線區間，則=，則線積分還原為一般定積分： 特例2 若C為XY平面上平行X軸或Y軸上的線段，則線積分分別有下列兩種情形： Z Y X 如上圖所示，一曲面對兩線段之組合路徑做線積分時的結果為： 若有兩個不同之連續函數M(x,y)及N(x,y)分別對同一路徑做線積分時，其結果可合併為： 以上的線積分公式可推廣至對空間曲線之線積分公式，假設C為空間中之曲線，並以參數表示為： 則線積分公式為： 線積分的計算方法： 當曲線C以參數方式表示為：時，則將積分式中的x與y均以g(t)及h(t)代換，並令，且以a及b為上下限。 當曲線C以方式表示時，則不必以參數代換，而直接以y=g(x)及代入，並以a及b為上下限。 從物理上功的觀念定義線積分 假設向量空間中一質點受向量力場之作用，此力場為： 若質點位於一曲線C上，且其參數式為：，則沿曲線C移動該質點一微小位移時所做的功為： 所以沿曲線C對質點做的總功為 假設為曲線C上任一點之位置向量，且為曲線上之單位切線向量，則： 所以，功就是指力場沿曲線路徑C之切線方向上之分量（即投影量）的線積分。反言之，線積分可以解釋為力場沿曲線路徑C對質點所做的功。 在以上述公式求線積分時，應注意與曲線C之間的參數關係： 當表為t的參數式時，可使用。 當表為s的參數式時，可使用。 4.2 Domains; Simply Connected Domains 一個區域(region)如只包含內部點(interior points)而不包含邊界點(boundary points)，則此區域稱為open。 如果一個曲線位於一open的區域內，則根據1.的定義，此曲線絕不可與此區域的邊界相交或接觸。 若在一個open的區域內，只要給定兩個點就能找到一平滑曲線將該兩點連接起來，則此區域稱為connected。 一個既open又connected的區域稱為一個domain。 若在一domain中的每一個封閉曲線均能在不使曲線的任何一部份跑到domain以外的情形下，連續收縮成一個點，則此domain稱為simply-connected。換言之，simply-connected domain就是只沒有洞口的domain。 4.3 保守場 假設為domain D中的向量場，如果在D中能找到一個純量場φ使得=gradφ，則向量場稱為保守場（conservative field）。φ稱為的勢能函數（potential function），或簡稱為的勢能（potential）。φ的選擇並不唯一，因為φ雖然可以加上不同的常數而產生新的勢能函數，但其梯度仍為。以下為與保守場有關之定理。 定理一 一個在domain D中連續的向量場為保守場，其中P、Q分別為曲線C的起點與終點。換言之，在保守場中，線積分值只與