统计学第四章.doc

第四章 推断统计概述 第一部分 概率论基本知识 一、概率的定义；二、概率的性质；三、概率的加法定理和乘法定理 四、概率分布类型 四、概率分布类型 概率分布（probability distribution）是指对随机变量取不同值时的概率的描述，一般用概率分布函数进行描述。 依不同的标准，对概率分布可作不同的分类。 １、离散型分布与连续型分布 依随机变量的类型，可将概率分布分为离散型概率分布与连续型概率分布。 教育统计学中最常用的离散型分布是二项分布，最常用的连续型分布是正态分布。 ２、经验分布与理论分布 依分布函数的来源，可将概率分布分为经验分布与理论分布。 经验分布（empirical distribution）是指根据观察或实验所获得的数据而编制的次数分布或相对频率分布。 理论分布（theoretical distribution）是按某种数学模型计算出的概率分布。 ３、基本随机变量分布与抽样分布 依所描述的数据的样本特性，可将概率分布分为基本随机变量分布与抽样分布（sampling distribution）。 基本随机变量分布是随机变量各种不同取值情况的概率分布， 抽样分布是从同一总体内抽取的不同样本的统计量的概率分布。 第二部分 几种常见的概率分布 一、二项分布 二项分布（binomial distribution）是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布，它是由贝努里创始的，因此又称为贝努里分布。 2．二项分布函数 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。 用 n 次方的二项展开式来表达在 n 次二项试验中成功事件出现的不同次数（X＝0，1…，n）的概率分布，叫做二项分布函数。 二项展开式的通式（即二项分布函数）： 成功概率 p；样本容量 n 在成功概率为p的总体中随机抽样，抽取样本容量为n的样本中，有X次为成功的概率： （X＝0，1…，n） 称X服从参数为n，p的二项分布，记为： X～B(n,p) 其中，0p1 二项分布的性质 二项分布有如下性质： ①当p=q时，图形是对称的。 ②当p≠q时，直方图呈偏态。p＞q与p＜q时的偏斜方向相反。 3．二项分布的平均数和标准差 如果二项分布满足p＞q且 nq≥5（或者p＜q且 np≥5时，二项分布接近于正态分布。可用下面的方法计算二项分布的平均数和标准差。 二项分布的平均数为 二项分布的标准差为 4．二项分布的应用 二项分布函数除了用来求成功事件恰好出现X次的概率之外，在教育中主要用来判断试验结果的机遇性与真实性的界限。 一个学生凭猜测做10个是非题，平均可以猜对5题。什么情况下可以说他是真会而不是猜测呢？ 解：猜对与猜错的概率：p=q=1/2。 猜对8的概率为0.044 猜对9题的概率为0.010 猜对10题的概率为0.001 猜对8题以上的概率为：0.044+0.010+0.001=0.055 一个教师对8个学生的作业成绩进行猜测，如果教师猜对的可能性为1／3，问： ⑴平均能猜对几个学生的成绩？ ⑵假如规定猜对95％，才算这个教师有一定的评判能力，那么这个教师至少要猜对几个学生？ (1) ( 2) 这个教师至少要猜对5个学生，才有一定的评判能力 正态分布 正态分布（normal distribution）也称为常态分布，是连续型随机变量概率分布的一种，是在数理统计的理论与实际应用中占有最重要地位的一种理论分布。 正态分布由棣·莫弗于1733年发现的。拉普拉斯、高斯对正态分布的研究也做出了贡献，故有时称正态分布为高斯分布。 ．1.正态分布曲线函数 正态分布曲线函数又称概率密度函数（即方程），其一般公式为 公式所描述的正态曲线，由σ和μ两个参数决定。 将N改为频率，正态曲线形态不变。 正态曲线的特征 关于x=μ对称。 在x=μ处取得该概率密度函数的最大值，在 处有拐点，表现为钟形曲线。 决定曲线在横轴上的位置， 增大，曲线沿横轴向右移；反之， 减小，曲线沿横轴向左移。 决定曲线的形状，当 恒定时， 越大，数据越分散，曲线越“矮胖”’； 越小, 数据越集中，曲线越‘瘦高’。 曲线下面积为1。 正态曲线下的面积规律 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等； 正态曲线下面积的含义 (-1.64(～ (+1.64(内面积为90%； (-1.96(～ (+1.96(内面积为95%； (-2.58(～ (+2.58(内面积为99%。 1.曲线下面积是全体数据落入某区间的概率； 2.曲线下面积是落入某区间的数据占全体数据的比例 标准正态分布曲线 将标准分数代入正态曲线函数，则公式变换为标准