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维纳过程(布朗运动) 贺方毅 四川大学经济学院 连续时间极限 • 离散时间和离散价格模型有显而易见的缺陷，明显地限制 了资产价格的变动范围，而且会限制这些变动发生的时间 的集合。 • 我们考虑时段 的二叉树模型序列。当 ，对 于所有逼近序列中的二叉树模型，假设每一时段股票价格 向上变动和向下变动的概率都是 。 • 相应的对数收益率为 Fangyi He, School of Economics 2 连续时间极限 • 由k(n)的定义，我们可以得到， E(k(n)) =(1/2) ln(1+u) + (1/2) ln(1+d) (4.1) Var(k(n)) 2 2 = E[(k(n)) ]- [E(k(n))] 2 2 = (1/4) ln (1+u) + (1/4) ln (1+d) - (1/2) ln(1+u) ln(1+d) (4.2) Fangyi He, School of Economics 3 连续时间极限 • 在单时段上的无风险收益率可以用等价的连续复合利率r 代替，于是在长度为 的时段的收益将是 . • 从时刻0到时刻1的单位时间区间，包含N个长度为 的时 段( =1/N )。假设m为在单位时间区间上的对数收益率 k(1)+k(2)+…+k(N)的期望； 为标准差，则 • 由二叉树模型的定义，对数收益率k(1), k(2), …, k(N)是独 立同分布的。因此可以得到，对每一个n=1, 2, …, N, Fangyi He, School of Economics 4 连续时间极限 m = N E(k(n)) = N Var(k(n)) 所以我们可得， E(k(n)) = m/N = (4.3) Var(k(n)) = /N = (4.4) 由(4.1)-(4.4), 可得 (4.5) (4.6) Fangyi He, School of Economics 5 连续时间极限 • 引入一个相互独立的随机变量序列 ，每一个随机变量 取两个值，即 • 由k(n)的定义 及(4.5)