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《广义相对论基础》第五次作业答案 µ µ 一、设 是Killing 矢量场，试证ξ ξ 0 。 ;µ 证明：ξµ;µ (g µνξ ) g µνξ gνµξ −gνµξ =−ξν ， ν µ ν ν µν ν ; ;µ ;µ ; ; 因此 ξµ 0 。 ;µ 1 2 二、设 2 0 4 0 2 x 1 2 −x 2 2 3 2 ，证明时空是平直的。 ds =−(x ) (dx ) +2e (dx ) +e (dx ) +(dx ) 2 2 2 1 2  1   x   −x  证明： 2  3   2   2  3 2 ， =− ( ) + 2 2 + −2 +( ) ds d 3 x0  d  e  d  e  dx       可见，在坐标变换  1 3 t 3 (x0 ) ,  1  x 2 x 2 2e ,  −x 2 y =−2e 2 ,  3  z x 下，有 ds2 =−dt2 +dx2 +dy2 +dz2 ， 故时空是平直的。 三、简述伯克霍夫定理的内容。 真空球对称度规一定是静态的。如果球对称的引力源不是静止的，而是在作径向 运动，但在运动中保持球对称性，例如在收缩、膨胀或径向振荡，伯克霍夫定理 说，它的外引力场仍然可以用史瓦西解来描述。 四、Schwarzschild 度规为 2 2 2GM 2 2GM −1 2 2 2 2