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数学工具四 解析法.doc
笛卡尔曾经在他的哲学著作《指导思维的法则》中提出了“通用数学”的思路,即任何问题一数学问题一代数问题一方程求解。其中,数学问题向代数问题的转化非常明确地指出了解析思想的重要性,在向量、解三角形、立体几何等内容里都有广泛的应用,而且思路清晰,计算简单,是我们在平时教学中应不断渗透的一种思想方法。
一 在向量中的应用
例(2009年安徽)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.
解:建立坐标系如图所示
,设,由,
得,又因为,所以,
再由参数方程,,所以,
故,当时,取得最大值
本题将问题放在了单位圆中,使得坐标计算非常简单,再应用圆的参数方程使得本题较快地得到解决,当然本题还可以利用基本不等式,比较起来,解析法更容易被同学们所想到
例2 (2008江苏).若,则的最大值
解:建立如图所示的坐标系,由已知条件得,设,由知,,故点在以为圆心,以为半径的圆的最高位置,即高为半径时,取到面积最大值为
点评:本题如果用正余弦定理解决的话,计算将会比较繁琐,但是放到解析几何当中,只是阿波罗尼圆的一个特例,条理清晰,方法简单,易于计算。
解析法在向量问题中的应用
例2已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,
则的最大值是( C )
(A)1 (B)2 (C) (D)
简解 设,由,得
即,所以的起点在坐标原点,终点在以为圆心,为半径的圆上,故的最大值为通过题中所给的已知条件,巧妙设出向量坐标,得出向量 的坐标运动曲线,转化为圆上动点到原点距离问题,从而体现解析
法的无穷魅力.
三 解析法在函数中的应用
例(4)已知函数的最大值为,最小值为,则的值为
(A) (B) (C) (D)
解:设,消去得,其图像是圆在第一象限的一部分,如图所示,考虑直线系中,与此圆相交的直线过点或时,取得最小值,当直线与圆相切时取得最大值易得切点为,所以函数的最大值为,因此
本题巧妙的利用换元,将函数问题转化为几何问题.利用数形结合迅速求出函数的最值,反映了数学知识所固有的内在联系,作为一种解题思路,应有一定的借鉴价值
四 解析法在三角函数中的应用
(12)函数f(x)=(0≤x≤2)的值域是(A)[-] (B)[-](C)[-] (D)[-]
【简解具有两个向量夹角余弦值的几何意义
构造
则为与夹角的余弦值,其中点在圆:上运动,显然与⊙相切,
与夹角有最值,点在处时,与夹角最小为,的最大值为,点在处时,与夹角最小为,的最大值为,所以的值域为[-]
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