数学工具四 解析法.doc

笛卡尔曾经在他的哲学著作《指导思维的法则》中提出了“通用数学”的思路，即任何问题一数学问题一代数问题一方程求解。其中，数学问题向代数问题的转化非常明确地指出了解析思想的重要性，在向量、解三角形、立体几何等内容里都有广泛的应用，而且思路清晰，计算简单，是我们在平时教学中应不断渗透的一种思想方法。 一 在向量中的应用 例（2009年安徽）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_. 解：建立坐标系如图所示 ，设，由， 得，又因为，所以， 再由参数方程，，所以， 故，当时，取得最大值 本题将问题放在了单位圆中，使得坐标计算非常简单，再应用圆的参数方程使得本题较快地得到解决，当然本题还可以利用基本不等式，比较起来，解析法更容易被同学们所想到 例2 （2008江苏）.若，则的最大值 解：建立如图所示的坐标系，由已知条件得，设，由知，，故点在以为圆心，以为半径的圆的最高位置，即高为半径时，取到面积最大值为 点评：本题如果用正余弦定理解决的话，计算将会比较繁琐，但是放到解析几何当中，只是阿波罗尼圆的一个特例，条理清晰，方法简单，易于计算。 解析法在向量问题中的应用 例2已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足, 则的最大值是( C ) （A）1 （B）2 （C） （D） 简解 设，由，得 即，所以的起点在坐标原点，终点在以为圆心，为半径的圆上，故的最大值为通过题中所给的已知条件，巧妙设出向量坐标，得出向量 的坐标运动曲线，转化为圆上动点到原点距离问题，从而体现解析 法的无穷魅力． 三 解析法在函数中的应用 例(4)已知函数的最大值为,最小值为,则的值为 (A) (B) (C) (D) 解：设，消去得，其图像是圆在第一象限的一部分，如图所示，考虑直线系中，与此圆相交的直线过点或时，取得最小值，当直线与圆相切时取得最大值易得切点为，所以函数的最大值为，因此 本题巧妙的利用换元，将函数问题转化为几何问题．利用数形结合迅速求出函数的最值，反映了数学知识所固有的内在联系，作为一种解题思路，应有一定的借鉴价值 四 解析法在三角函数中的应用 （12）函数f(x)=(0≤x≤2)的值域是(A)[-] (B)[-](C)[-] (D)[-] 【简解具有两个向量夹角余弦值的几何意义 构造 则为与夹角的余弦值，其中点在圆：上运动，显然与⊙相切， 与夹角有最值，点在处时，与夹角最小为，的最大值为，点在处时，与夹角最小为，的最大值为，所以的值域为[-]