数学竞赛中的二次函数问题_上_.pdf

2009年第 7期 13 从高考到竞赛 从本期开始, 本刊隆重推出从高考到竞赛栏 目。本栏 目的宗旨是 : 为竞赛打好基础, 为高考丰富知识; 为竞赛提升能力, 为高考储备能量 。 高考与竞赛在知识上是相通的, 在方法上是类似的, 在数学思想上是一致的。栏 目力求兼 顾高考与竞赛, 特别是高中联赛的第一试, 从高考出发, 到竞赛落脚, 深入浅出, 起点低, 坡度 缓, 跨度大 。读者群指向大多数高中生及数学教师, 愿本栏 目对读者有益, 对高考和数学竞赛 都有益 。 欢迎广大作者积极为本栏 目撰稿 。 本刊编辑部 数学竞赛中的二次函数问题 (上) 曹 贤 鸣 (浙江省台州市第一中学, 3 18000) ) 　　二次函数与二次方程 、二次不等式的交 0 . 因此, 可利用零点式求解. 汇自然贴切 、一脉相承, 因而, 此类问题 内容 设 f ( x) = a ( x - 2 + 2) (x - 2 - 2) . 丰富、解题思路灵活多样, 一直是高考和高中 ( ) 由于二次函数的图像经过点 0, 1 , 代 联赛第一试的重要内容之一. 本文通过一些 1 入待定式求得 a = . 于是, 实例的求解, 旨在介绍数学竞赛中与二次函 2 数相关问题的常见题型及其求解方法. 1 f ( x) = ( x - 2 + 2) ( x - 2 - 2) , 2 1　二次函数问题 1 2 即　f ( x) = x - 2x + 1. 1. 1　求二次函数解析式 2 二次函数解析式常见形式有三种. 求二 说明:在求二次函数的解析式时, 要充分 次函数解析式, 就是选取其中一种形式, 结合 利用其图像的几何性质, 灵活选取待定式, 优 ( ) 化求解过程. 已知条件列方程 组 求出待定系数, 进而确 定二次函数的解析式. 1. 2　二次函数在闭区间上的最值 例 1　设二次函数 f (x) 满足 求二次函数 f ( x) 在闭区间 [ m , n ]上的 f ( x + 2) =f ( - x + 2) 最值, 视二次函数图像的开 口情况及其对称 ( ) 轴与闭区间的相对位置关系来判断二次函数 且它的图像与 y 轴交于点 0, 1 , 在 x 轴上截 得的线段长为 2 2. 求 f (x)