方差为什么要除以n-1.pdf

RoBa’s Blog Algorithm, AI, IT and Daily Life « 我的爱与不爱 样本方差为什么是除以n‐1 不要bs……话说这个问题从中学开始就困扰着我，可是课本上通常都是语焉不 详一笔带过，似乎是很显然的样子，搞得我一度无限怀疑自己的智商。最近仔 细看了看书，整理了一下思路，终于把它推倒了。赶紧记下来，请各位过路的 大牛指教。  下面的推倒过程需要两个结论，在这里不加证明了，基本上概率书上都有。(1) 对于任意两个随机变量X,Y都有 E(X+Y) = E(X) + E(Y)，和的期望等于期望 (2) V(X) = E(X^2)   E(X)^2 的和 – ，方差等于平方的期望减去期望的平 (3) X,Y V(X+Y) = V(X) + V(Y) E(aX+b) = aE 方。 若 独立，有 。另外还有 (X) + b, V(aX+b) = a^2*V(X)  X 从头来说，有这么个随机变量 ，我们不知道它的分布，但是我们可以获得很 Xi 多个满足同样分布的样本 ，现在我们要从这些样本里估计这个随机分布的一 些信息，比如它的均值 （所谓总体均值）和方差（所谓总体方差）。当然我们 想让我们的估计尽可能地准确，判断准确与否的一个标准（不是唯一标准）就 是看它是不是 “无偏估计”(unbiased estimation)，所谓无偏估计就是说这 个估计的期望值 （每个样本都是一个随机变量，估计值是由这样样本算出来 的，所以也是个随机变量，也有期望方差等等概念）就是真实值。  比如最简单的，样本均值 就是一 个无偏估计，因为我们 可以证明 :    (1)   这里第三个等号用到了结论 。 这个样本均值比较 自然而符合直观，加起来一除自然是平均值。但下面不太符 合直观的来了，样本方差 的无偏估计是    这里的 就是上面那个样本均值。这里就比较别扭了，因为感觉上应该是除以 n才对，怎么会冒出一个n­1来？但是下面我们可以证明 .  推倒前还需要一个东西， 的方差:    下面可以开始了：  E   这里后面那个 分成了三部分，第一部分   这里第二个等号利用结论(2)  关于第二部分和第三部分，实际上有    这个只要把 代入展开就可以发现，所以后面两项就只剩下了 ，而    代入起来就 有 。故得 证。  n S   = (X1+X2+ 最后说一句， “无偏”不是必须的，比如我们就除以 了： ’