构造函数巧解数学竞赛题.pdf

维普资讯 2002年第4期 数学学 习与研究 竞赛之窗 构造 函数巧解数学竞赛题 (山东省阳谷华阳中学 252329) 安瑞卿 用构造法解题，是 中学数学竞赛中的一个 热 (o， 『= 】内为减函数， 点 ，运用构造 法解题．需要有独到的见解 ．灵活的 在 【．厅 -=可 ，+∞)内为增函数，由此得： 思维，广博 的数学知识 ，丰富的联想能力，敏锐 的 当 -l__I∈(0，2]．即1n≤{时，，() 直觉能力 构造 函数解题体 现了这样 一个 策略 ： 在(O，2]上的最小值为 即将静止的问题放到一个更加波搠壮阏 的动态过 程中去考察：将局部的同题置于更加高瞻远瞩的 ，(√3(d一1))=n+2+2J2(d一1) 全局 中去解决 ． 当／ 一二__2，即n÷时，，()在(0．2] 一 、 求值 上的最小值为 例 1 设 ，y为实数，且满足 ，(2)：(。+2)+2+ I( —1)。+1997(x一1)=一1 {(y一1)+1997(y—1)：1 = §i璺± Z 则 Y： ． — — 二、解方程 (1997年全屋高中数学联合竞赛试题) 饲 3 设实数 满足方程 解 原方程组可化为 ： 十bg2(2 一31)=5， f( 一1)+1997( 一1)= 一1 求 2． I(1一 )。+1997(1一y)= 一1 (1994年北京市高一数学竞赛题) 构造 函数 ，(t)=t+1997t，f(t】在 R上是 解 构造函数 ffx)= +Io~(2 一31)一5． 单调递增的，又 易知 ，()在定义域内单调递增，且 f(5) 0，所 ( 一1) 十1997( 一1) 以方程 ，()=0至多有 一个实根，即原方程有唯 =(1一Y)+1997(1一 )． 一 解 。=5． 即f( —1)=f(1一Y)， 倒 4 解方程 3 +4 5 ． ’ 一 1=l—Y．故 Y=2． (第七届全俄 中学生数学竞赛题) 倒 2 设 。1，。、0均为实数，试 求当 日变化 解 把原方程化为 时．函数_±至等 趔的最小值． (詈) 告 ． (1986年上海数学竞赛试题) 设，()=(詈)+(÷)一l，易知，()在 解 设 l+ n = ．则O ≤2，题设 函数变 R上单调递减．且 ，(2)=0，所 以方程 ，( ) 0 为