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概率与统计第十讲 二维随机变量 开课系：理学院 统计与金融数学系 e-mail:probstat@ 主页 二. 联合分布函数 四.二维连续型随机变量及其密度函数 * * 2.4 二维随机变量一、 多维随机变量 1.定义 将n个随机变量X1，X2，...,Xn构成一个n维向量 (X1,X2,...,Xn)称为 n维随机变量。 一维随机变量X——R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标 多维随机变量的研究方法也与一维类似， 用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律 设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)?R2, 则称 F(x,y)=P{X?x, Y?y} 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 几何意义：分布函数F( )表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分： 对于(x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ),则 P{x1X? x2， y1Y?y2 } ＝F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1). (x1, y1) (x2, y2) (x2, y1) (x1, y2) 已知随机变量(X,Y)的分布函数F (x,y),求(X,Y)落在如图区域G内的概率. 答: 分布函数F(x, y)具有如下性质： 且 (1)归一性 对任意(x, y) ?R2 , 0? F(x, y) ? 1, (2)单调不减 对任意y ?R, 当x1x2时， F(x1, y) ? F(x2 , y)； 对任意x ?R, 当y1y2时， F(x, y1) ? F(x , y2). (3)右连续 对任意x?R, y?R, (4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)－F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋F (x1, y1)?0. 反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。 例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为 1)求常数A，B，C。 2)求P{0X2,0Y3} 解: 三.联合分布律 (P76)若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列对值(xi, yj), (i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则称 P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律.可记为  (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )， X Y y1 y2 … yj … p11 p12 ... P1j ... p21 p22 ... P2j ... pi1 pi2 ... Pij ... ... ... ... ... ... ... ... ... 联合分布律的性质 (1) pij ?0 , i, j＝1, 2, … ； (2) x1 x2 xi 二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下: 例2.袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次， 令 ,求(X,Y)的分布律。 X Y 1 0 1 0 1、定义 对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负函数f (x, y)，使对?(x, y)?R2， 其分布函数 则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为 (X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为 (X, Y)～ f (x, y)， (x, y)?R2 2、联合密度f(x, y)的性质(p78) (1)非负性： f (x, y)?0,