理论力学第四章扭转.ppt

根据精确的理论分析,当t≤R/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。 §4-7 非圆截面杆的扭转 三）静力学关系： O dA ? A τρ 令 代入物理关系式 得： —横截面上距圆心为?处任一点切应力计算公式。 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 ? —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 确定最大切应力： 由 知：当 WP — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 纯几何量 Ip, Wp 的确定 ： 1、实心圆截面—— d ? d? O 2、空心圆截面—— d D O ? d? 应力分布对比： （实心截面） （空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。 二、圆轴扭转强度条件 强度条件： ， [t]—许用切应力； 理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[t]与许用正应力[σ]之间存在下述关系： 对于塑性材料． [t] ＝(0.5一0.577) [σ] 对于脆性材料， [t] ＝(0.8—1.0) [σ] 强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： 例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN?m， MB=36 kN?m， MC=14 kN?m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴的强度。 解： 1、求内力，作出轴的扭矩图 22 14 T图（kN·m） MA MB Ⅱ Ⅰ MC A C B BC段 AB段 2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度 即该轴满足强度条件。 22 14 T图（kN·m） 例 已知 T=1.5 kN . m，[t ] = 50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴。 解：1. 确定实心圆轴直径 2. 确定空心圆轴内、外径 3. 重量比较 结论：空心轴远比实心轴轻 一、圆轴扭转变形：（相对扭转角） §4.5 圆轴扭转时的变形及刚度计算 知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角? 为 对于阶梯轴，两端面间相对扭转角? 为 扭转角：单位：弧度（rad）。 GIP——抗扭刚度。表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。 注意： “T” 代入其“＋、－”号 单位扭转角 ： 或 二、刚度条件： 三、刚度计算： 1、校核刚度； 2、设计截面尺寸； 3、确定外荷载。 [θ]----许可单位长度扭转角，可以参考机械设计手册 精密机器轴： [θ]=0.15——0.3（o）/m 一般传动轴： [θ]=1o/m 例 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮B，C 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa， [? ]=1o/m ，G=80GPa。 (1)试确定AB 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AB和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? 解： 1.外力 2.扭矩图 按刚度条件 3.直径d1的选取 按强度条件 按刚度条件 4.直径d2的选取 按强度条件 5.选同一直径时 6.将主动轮装在两从动轮之间 受力合理 解扭转超静定问题的步骤： 平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 补充方程：把物理方程（力与变形的关系）代入几何方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 §4.6 简单超静定轴 超静定轴：轴的未知力偶矩的数目多于有效平衡方程的数目 [例] 长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为? =0.8 ，外径 D=0.0226 m ，G=80 GPa，试求：固定端的反力偶。 解：①杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为： ②几何方程： ③ 力的补充方程： ④