理论物理导论习题及解答.ppt

答：设质心的速度Vc，第i个质点相对质心的速度Vi’，则 ，代入质点组动量定理可得 这里用到了质心运动定理 。 故选用质心坐标系，在动量定理中要计入惯性力。但质点组相对质心的动量守恒 。当外力改变时，质心的运动也改变，但质点组相对于质心参考系的动量不变，即相对于质心参考系的动量不受外力影响，这给我们解决问题带来不少方便。 答：秋千受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。当秋千荡到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，内力做功降低重心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能不断增大，秋千就可以越荡越高。 这时能量的增长是人体内力做功，消耗人体内能转换而来的。 * 1.6 一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为 及 ，式中 及 是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为 解： 质点沿位矢速度： ① 沿垂直于位矢速度： 即 （取位矢方向 ，垂直位矢方向 ） 所以 又因为 即 ③ ④ 故 即沿位矢方向加速度： 垂直位矢方向加速度： 对③求导可得 对④求导 把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 1.10 一质点沿着抛物线　　　　运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的　　倍。如此质点从正焦弦的一端　　　以速度　出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。 质点切向加速度为： 解： 法向加速度为： 且 又因为 所以 又 把　　　　两边对时间求导得： 又因为 所以 所以 可化为 对等式两边积分 所以 2.7选用质心坐标系，在动量定理中是否需要计入惯性力？ 2.8 轮船以速度 行驶。一人在船上将一质量为m的铁球以速度 向船首抛去。有人认为：这时人作的功为 你觉得这种看法对吗？如不正确，错在什么地方？ 答: 不对. 因为人抛球前后球与船和人组成的系统的动量守恒，球抛出后船和人的速度不再是 设船和人的质量为M,球抛出后船和人的速度为v1,则 球出手时的速度应是 人做的功应等于系统动能的改变，不是只等于小球动能的改变，故人做的功应为 显然与系统原来的速度无关。 2.9 秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从哪里来的？ 2.2 如自半径为a的球上，用一与球心相距为b的平面，切出一球形帽，求此球形冒的质心。 解 建立如图2.2.1图所示的球坐标系 把球帽看成垂直于z轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。设均匀球体的密度为 ,则 由对称性可知，此球帽的质心一定在z轴上。 代入质心计算公式，即 2.7 质量为M，半径为a的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上。有一质量为m的 质点沿此半球面滑下。设质点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线间所成之角为 ，并且起始时此系统是静止的，求此质点滑到它与球心的连线和竖直向上直线间所成之角为 时 之值。 解 : 当m沿半圆球M下滑时，M将以V向所示正方向的反向运动。以M、m组成系统为研究对象，系统水平方向不受外力，动量守恒，即 m相对于地固连的坐标系 的绝对速度 为m相对M的运动速度 ② 竖直方向 ④ 故水平方向 ③ 在下滑过程中，只有保守力（重力）做功，系统机械能守恒： ⑤ = ⑥ 把③④代入⑥ = 把①③代入⑤ 3.4 简化中心改变时，主矢和主矩是不是也随着改变？如果要改变，会不会影响刚体的运动？ 3.1半径为r的光滑半球形碗, 固定在水平面上. 一均质棒斜靠在碗缘, 一端在碗内, 一端则在碗外, 在碗内的长度为c, 试证棒的全长为 证: 研究对象为棒, 建立直角坐标系并受力分析如图. 均质棒受到碗的弹力分别为 ， 棒自身重力为G。棒与水平方向的夹角为 。设棒的长度为 。 由于棒处于平衡状态，所以棒沿x轴和y轴的合外力为零。沿过A点且与z轴平行的合力矩为0。即： ① ② ③ 由①②③式得： 又由于 即 将⑤代入④得： ④ ⑤ 3.4 相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求角 及角 之间的关系。 Ox轴竖直向下，相同的球A、B、C互切，B、C切于D点。设球的重力大小为G，半径为r，则对A、B、C三个球构成的系统来说，在x轴方向的合力应为零。即： 解： ① 对于C球，它相对于过D点与