生活中的优化问题举(cheng).ppt

* 例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 , 上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？ 则有　xy=128，（１） 另设四周空白面积为Ｓ， 则 （２） 由（１）式得： 代入（２）式中得： x y 2 解法二：由解法(一)得 ≥ 例2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品 一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 瓶子的制造成本是 分，其中 r 是瓶 子的半径，单位是厘米.已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题(１)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最大？ 　　(２)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是 令 当 当半径r＞２时，f ’(r)0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径r＜２时，f ’(r)0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低． 1.半径为２cm 时，利润最小，这时 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值 ２．半径为６cm时，利润最大 注:直接从函数的图象上观察,你有什么发现?(图见课本第40页) 练习：课本P37A组T5 答：表面积 设半径为R,则高为h 表面积写成R的函数,问题就转化求函数的最值问题 R h R h R h 　　解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示: 方法小结 优化问题 用函数表示数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 建立数学模型 解决数学模型 作答 25 广东省阳江市第一中学周如钢 例3 例3答案 例1答案 例2 例2答案 例2答案 例1 例1答案 例1答案2 * * 变式题 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大? 练习 1、若以长为10的线段为直径作半圆，则半圆的内接矩形的最大面积为 。 2、若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则当其表面积最小时，底面的边长为 。 例4 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的 高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材 料最省？ 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的强有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 分析:“所用材料最省”用什么量来刻划? 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2 令 +4πR=0, 解得，R=， 从而h====2即h=2R ∵S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 提示： + V(R)== 令=0 ． 当时 当时 例3. 磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是 带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其 格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径 所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分 割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可 作为基本存储单元，根据其磁化与否可分 别记录数据0或1，这个基本单元通常被 称为比特（bit）。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．⑴是不是越小，磁盘的存储量越大？⑵为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。 ∴磁盘总存储量× 令，解得 当时，；当时，． 因此时，磁盘具有最大存储量。 此时最大存储量为 生活中的优化 问题举例 设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于， 且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。 由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条 磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。 它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断