生活中的优化问题举例.ppt

问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 练习4:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1. 设 ,由x,y为正实数得: 设 令 ,得 又 ,又f(0)=f(π)=0, 故当 时, 练习5:证明不等式: 证:设 则 令 ,结合x0得x=1. 而0x1时, ;x1时, ,所以x=1是f(x)的极小值点. 所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1. 从而当x0时,f(x)≥1恒成立,即: 成立. 解决优化问题的一般步骤： (1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论， 找出问题的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数 学方法求解； (4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的 判断，确定其答案。 注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定 函数的定义域是关键。 * * 3.4生活中的优化问题举例 第三章 导数及其应用 高二数学组 王婧 一、如何判断函数函数的单调性？ f(x)为增函数 f(x)为减函数 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导， 二、如何求函数的极值与最值？ 求函数极值的一般步骤 （1）确定定义域 （2）求导数f’(x) （3）求f’(x)=0的根 （4）列表 （5）判断 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值； (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数的最值。 一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条 连续不断的曲线，则求f (x) 的最值的步骤是： （1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特别地，如果函数在给定开区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题. 例1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 图3.4-1 分析：已知版心的面积，你会如何建立函数关系表示海报四周的面积呢？ 因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。 由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：设出变量找出函数关系式 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。 优化问题 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 你还有其他方法求这个最值吗？ 解法二：由解法(一)得 5.1 2 4.5 1.25 2.5 价格（元） 0.6 规格（L） 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？ 例2： 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm， （1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ (0，2) f (r) 0 f (r) (2，6] 2 r - + 减函数↘ 增函数↗ -1.07p ∴每瓶饮料的利润： 解：由于瓶子的