用三重积分推导抽水做功的计算公式.ppt

June 17, 2012 四川大学数学学院 徐小湛 抽水作功问题 作为定积分的物理应用，抽水所做的功一般是用定积分来计算。 本课件用三重积分的元素法来推导抽水做功的三重积分计算公式。 用三重积分来计算抽水所做的功，有时更方便。 最后，举例加以说明。 水面 问题： 欲将瓶中的水从瓶口抽出，求抽水所做的功W。 先用定积分来计算功 如图建立 x 轴： 设瓶高为H，水面高为 h， 在 x (0xh)的高度取厚度为 dx 的很薄的一层水。 假设已知这层水的横截面面积为 A(x) (0xh) ,  （A(x)一般根据题意得知） 则这层水的体积约为：dv = A(x)dx (体积元素) 水面 这一层水受到的力 (重力)： 抽出这一层水的路程： 抽出这一层水功的近似值： 功的元素： μ为水的密度，g 为重力加速度 点评：求解这种问题的关键是分析出瓶高 x 处的截面面积 A(x)，其余的量都是固定的。 抽出全部水的功： (1) 下面用三重积分来计算抽水的功 如图建立坐标系，使瓶底在xOy坐标面上。 设瓶中水所占据的空间区域为Ω。 在水中(x,y,z)处取一小块水，体积为 dv (体积元素)。 这一小块水受到的力 (重力)： 抽出这一小块层水的路程 (体积元素到瓶口的距离)： 抽出这一小块水的功的近似值： （功的元素） μ为水的密度，g 为重力加速度。 抽出全部水的功： (2) 下面来说明公式(2)与公式(1)相等。 从以上推导看出：用三重积分建立抽水做功的公式是比较简单的。 假设（如图） 则用“先二后一”积分法 其中 A(z) 是 D(z) 的面积。 结果同公式(1)。 下面来看一个例子 例 设一锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？ 同济六版292页，习题 6 作为比较，我们用两种方法来计算抽水所做的功。 先用定积分计算 设一锥形贮水池，深15m，口径20m，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？ 功的元素