用复变函数来表示平面向量场.ppt

2.4 平面场 2.4.2 平面流体场 * * 2.4.1 用复变函数来表示平面向量场 物理上所谓“场”就是指每一点逗对应有物理 量的一个区域，在这里，只研究平行于一个 平面的定常向量场，即场中的向量都平行一 个平面S，而且垂直于S的任何一条直线上的 内的场示。 点处的向量都是相等的，场中的向量于时 间无关，显然，这种向量场在所有平行于S 的诸平面内场的分布情况是完全相同的， 因此它完全可以用于平行于S的平面 图(2.4.1) 图(2.4.2) 在平面 内取定直角坐标系 ，于是 场中每一个具有分量 图(2.4.2)便可用复数 来表示 由于场中的点可用复数 来表示，所 以平面向量场 可借助于 复变函数： 来表示， 已知某以复变函数 由此可作出对应的向量场为： 同样，考虑垂直于均匀带电的无限长直导线的所有平面上，电场分布情况完全相同，因而可以取其中以平面作代表，当作平面定常向量场来研究，由于电场强度向量 所以该平面场可以用一个复变函数 来表示。 设“流体是不可压缩”是指流体的密度不 因压力的变化而变化。取流体所在的平面 为复平面，场内各点处的速度向量为： 若在某一区间D内该场是无源的，那么： 的全微分，即： 是某一二元函数 因而 在这个函数的等值线 上有 上式表明，在曲线 上，场的 向量与该曲线相切，因此称此曲线 为流线，称函数 为流函数。 又若在区域D内，该场是无旋的，则有： 所以 的全微分，即： 而 因此 是场 的势函数，曲线 称为等势线 在等势线上，有： 若在区域D内，该场无源又无旋，则有： 因此，当上述四个偏导数连续时， 构成一个解析函数，通常称此函数， 为这个场的复势。由(2.2.2)知 于是有 通常称 是该场的复速度。 从上述讨论可以看到，一个无源无旋的平面流体场的复势是一个解析函数，反之，已知一个解析函数，由此可构造出一个平面流体场，而该流体场的复势正是这个解析函数来表示，这就是解析函数的物理意义。 除此之外，用复势来刻画流动比用复速度方便，因为由复势求复速度只用到求导数，反之则要用积分，而且由复势容易求流线和势线，这样就可以了解流动的情况。 例 1 考查复势为 故势线是 流线是 所以场中任一点的流速为 方向指向x轴正向。 该场的流动情况如（图2.4.3)所示，这种流体称为均匀常流（实线表示流线，虚线表示势线）。 流线 等势线 图(2.4.3) 例 2 设原点是强度(在单位时间流出或漏去 的液量）为N0源头（或N0的沟汇)。而在无穷 远处流体保持静止，并且在平面上没有其他的源 头和沟汇，显然，流线是由原点发出的半射线， 等势线是以原点为中心的圆周。速度的大小仅与 点z的模有关，方向与圆周 的外法线的方 向一致，因而流速向量可表示为： 由于流体是不可压缩的，流体在任一圆环域 内不能积蓄，所以流过圆周 与 的流量为 （其中 是 的单位外法线向量， 是弧微分）所以： 而流量可表示为： 显然它符合“在无穷远处静止状态”要求， 由此可求得复势函数 的导数为 故所求复势函数为： 进一步得到势函数和流函数分别为： 该场的流体情况(图2.4.4)和(图2.4.5)所示(实线表示流线，虚线表示势线）。 例 3 设原点是一个漩涡点，其强度为 时间绕原点流动的液量为 ）， 上没有其他的漩涡点，在此情况，流线是以原 点为中心的圆周，等势线是原点发出的射线， 速度向量可表示为： (在单位 在无穷远处流体保持静止状态，并且平面 而沿圆周 的环量 （其中 的单位向量， 是弧微分） 因而： 所以 仿例2可求得复势为： 故该场得流动情况在 时，如(图2.4.6)所示； 在 时， 如(图2.4.7)所示， 图2.4.6 图2.4.7 2.4.3 平面静电场 取静电场所在得平面为复平面，场强向量为： 我们知道，若在某一区域D内没有电荷（即为管量场），则： 从而知在区域D 内， 是某一二元函数 的全微分，即： 与讨论流体场一样，在曲线 上，场强向量与该曲线相切，因此称此 曲线为力线（即电力线），称此函数 为力函数。 据电学理论知道，平面静电场又是一个势场，那么 即有： 因此在区间D内 也是某一二元函数 的全微分，即 由此得： 是场E的势函数，也可以 称为场的电位或电势，等值线 称为等势线或等位线。 所以 若在某一区域D内，不含有电荷，则力函数 与势函数 满足柯西－黎曼条件