用定义证明函数的单调性.ppt

* 2.2.3 * 2.2.3 1.3.1 用定义证明函数的单调性　 一、课题导入 1分钟 前面我们已经知道了什么是增函数，什么是减函数的定义，以及它们的单调区间，我们只能通过图像来判断在某个区间内这一段是增还是减函数。那么我们还能用什么方法来判断在某个区间内它是增函数还是减函数呢？ 二、学习目标 2分钟 1.熟悉掌握增函数与减函数的定义 2.学会用定义证明函数的单调性 三、预习指导5分钟 怎样通过解析式就能判断函数的单调性？ 证明：函数f(x)=-2x+2在R上是单调减函数 证：在R上 取两个值x1,x2,且x1 x2， 则f(x1)-f(x2)=(-2x1+2)-(-2x2+2) =-2(x1-x2,) 因为x1x2，所以-2(x1-x2,) 0， 所以f(x1)-f(x2) 0及f(x1) f(x2) 所以f(x)=-2x+2在R上是单调减函数 取值 做差变形 定 号 下结论 任意 四、引导探究25分钟 例2：物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之． 分析：按题意，只要证明函数 在区间（0，+∞）上是减函数即可． 证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1V2，则 由V1,V2 ∈（0，+∞）得V1V20； 由V1V2 ,得V2－V10． 又k0，于是 即 所以，函数 是减函数．也就是说，当体积V减小时，压强p将增大． 取值 作差 定号 下结论 证明函数单调性步骤 证明函数单调性的一般步骤： ⑴取值：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意值，且x1 x 2 (或x1 x 2）； ⑵作差：作差f(x1)－f(x2)，并将此差式变形（要注意变形到能判断整个差式符号为止）； ⑶定号：判断f(x1)－f(x2)的正负（要注意说理的充分性）,必要时要讨论； ⑷下结论：根据定义得出其单调性. 五、课堂小结 2分钟 本节课主要学习了以下内容： 1．函数的单调性及单调区间的概念； 2．根据定义证明函数的单调性的主要步骤． 六、【当堂清学】10分钟 基础题 证明函数f(x)=x-1的单调性 证：任取x1,x2 且x1x2，f(x1)-f(x2)=x1-x2 0,则f(x1)f(x2) 所以f(x)=x-1在R上是增函数。 提高题 f(x)=x2+1在（-∞，0）上是减函数。 任取x1,x2∈（-∞，0），且x1x2，则f(x1)-f(x2)=x12-x2 2 =(x1-x2)(x1+x2)，由题设有x1-x20,当x1,x2 ∈（-∞，0）时，x1+x20，所以f(x1)-f(x2)0 ，于是f(x1)f(x2) 所以f(x)=x2+1在（-∞，0）上是减函数。 选做题 已知函数f(x)是R上的增函数，设F（x）=f(x)-f(a-x),用函数单调性定义证明F（x）是R上的增函数？ 解：设x1,x2 ∈ R，且x1x2 ， 则 F(x1)-F(x2) =[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)] =[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]. 因为f(x)是R上的增函数，且x1x2 ， 所以a-x2a-x1. 所以f(x1)f(x2),f(a-x2)f(a-x1) 所以[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]0 所以 F(x1)F(x2)所以F(x)是R上的增函数 作业布置 课时作业10 * 2.2.3