用拉氏变换求解线性微分方程.ppt

计算机控制技术课程讲义 计算机控制技术课程讲义 2.3.6 用拉氏变换求解线性微分方程 例：前例3力学系统，系统输出：速度 V 系统输入：力 F 2.4 传递函数和方框图 线性系统的传递函数是在零初始条件下，系统输出的拉普拉氏变换与系统输入的拉普拉氏变换之比。记为：G（s） 线性系统微分方程的通式： 导出线性系统传递函数的通式为： 2.4.2 典型系统的传递函数 2.4.3 方框图 2.4.3.2 方框图的建立 * * 计算机控制技术课程讲义 步骤： 1、给定系统的输入和必要初始条件。（输出的响应函数必然在某种输入激励条件下产生） 2、对微分方程两边进行拉氏变换，变微分运算为代数运算。 3、在S域中解出系统输出的拉氏变换表达式，应用拉氏反变换求得其时域解。 给定系统的输入和初始条件： F（t） = 1（t）、V（0） = 0 则有： 求 : V（t） V F Fz m 阻尼器 微分定理及线性性质 两边做拉氏变换 解出V（s）进行反变换 拉氏变换表： 1/f 0 V(t) t 2.4.1 传递函数定义 其中：Y（s）系统输出的拉普拉氏变换 X（s）系统输入的拉普拉氏变换 设定：y(t)、Y（s）为系统输出及其拉普拉氏变换 x(t)、X（s）为系统输入及其拉普拉氏变换 a、b 为实常数 传递函数的特点： 反映系统内部运动特征、与输入输出取值无关 与系统内部结构、研究对象选择有关 由于系统惯性普遍存在，总有 n = m 传递函数的拉氏反变换即为系统的单位脉冲响应 1、比例环节： 微分方程 传递函数 K：常数 2、惯性环节： 微分方程 传递函数 T：惯性时间常数 3、积分环节： 微分方程 传递函数 T：积分时间常数 4、微分环节： 微分方程 传递函数 T：微分时间常数 5、振荡环节： 微分方程（略） ：振荡角频率 ：阻尼比 传递函数 6、延迟环节： 微分方程 传递函数 ：延迟时间 1、信号线：用矢量标明信号流向，用时域函数或拉氏变换标明信号。 2.4.3.1 方框图的组成 2、分支点：表示信号分两路传输，这两路信号均与原信号相同，无能量分配。 v(t) V(s) V(s) V(s) V(s) 3、相加点：表示两路信号相加减，运算符在信号线端点边标出，通常可省略 + 号。 4、环节：用方框表示信号处理环节，在方框中标出该环节的传递函数。 V1(s) V1(s) V2(s) V2(s) G(s) 步骤：物理过程分析 === 微分方程 === 传递函数 === 方框图 例子：水位系统中的水槽 水槽 用水 给水 Q out H 阀门 Q in 水位系统中水槽的方框图： 系统输出：H 系统输入：Q in 并假定用水流量与水位成正比： Q out = aH Q in (s) 1 / k s a Q out (s) H (s) * * *