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第四节 用根轨迹法分析系统性能 第四章 根轨迹分析法 根轨迹反映了闭环特征根随 Kr变化的规律，而闭环特征方程的根与系统的性能关系密切。通过根轨迹来分析系统的性能具有直观、方便的特点。 四、增加开环零极点对系统性能 的影响 二、已知根轨迹增益Kr确定 闭环极点 一、闭环极点位置与系统性能 的关系 三、已知性能指标确定闭环极点和Kr 第四节 用根轨迹法分析系统性能 一、闭环极点位置与系统性能 的关系 n阶系统单位阶跃响应的一般表达式为 C(s)= sn+a1sn-1+···+an-1s+an b0sm+b1sm-1+···+bm-1s+bm R(s) s A0 s-sj Aj ∑ n j =1 = + 待定系数: i =1 m (s-zi) j =1 n (s-sj) Kr Aj = s=sj (s-sj) A0 = s s-s1 + A1 An s-sn + … + 系统的输出响应： c(t)=A0+ ∑ n j=1 Aj esjt 负实数极点离虚轴越远,对应的分量 esjt 衰减越快系统的调节时间就越短 , 响应越快. 由上式可见性能主要由系统闭环传递函数的极点决定。 = ζ ω n ω n cos β = ζ s1 s2 σ β 0 1- ω ζ 2 n ω - ζ n 1- ω ζ 2 n - ω n j ω s1.2 ω n ω ζ =- ± n 1- ζ 2 一对共轭复数极点在s平面上的分布: ω n =- + ω d j ζ |s1|=|s2|= ω n ζ ω d ( )2+ 2 ω n = -1 = ζ cos β 复数极点的参数与系统性能的关系为 c(t)=1- t+ ) e ζ ωnt - 2 1- ζ d ω sin( β e - ζ ζ π 1- 2 100% σ%= ζ 3 ω n = ts 第四节 用根轨迹法分析系统性能 第四节 用根轨迹法分析系统性能 复数极点的位置与性能的关系： （1）闭环复数极点的实部ζω反映了 系统的调整时间； （2）闭环极点的虚部ωd表征了系统输 出响应的振荡频率； （3）闭环极点与坐标原点的距离ωn表 征了系统的无阻尼自然振荡频率； （4）闭环极点与负实轴的夹角β反映 了系统的超调量； （5）闭环极点在s 左、右平面的分布 反映了系统的稳定性。 当系统具有多个闭环极点时，可借助于主导极点的概念，将系统简化成低阶系统来处理。 第四节 用根轨迹法分析系统性能 例 已知系统的开环传递函数: Φ(s)= (s+1)(0.01s2+0.08s+1) 1 试估算系统的性能指标。 解 ： 闭环有三个极点 σ jω 0 s1 s1=-1 s2,3=-4± j9.2 s2 s3 -1 9.2 -9.2 -4 s1为主导极点 s2.3可以忽略不计。 Φ(s)= s+1 1 ts=3T=3(s) 闭环传递函数简化为 第四节 用根轨迹法分析系统性能 二、已知根轨迹增益Kr确定 闭环极点 根据根轨迹曲线分析系统性能，有时需要确定增益Kr取某值时的闭环极点，进而确定闭环传递函数。已知Kr一般采用试探的方法确定闭环极点. 第四节 用根轨迹法分析系统性能 例 已知系统的开环传递函数: s(s+1)(s+2) G(s)H(s)= Kr 试确定Kr=1时的闭环极点。 系统的根轨迹图如图: 解： σ jω 0 p1 p2 p3 -1 -2 取： s3=-2.32 s3=-2.33 Kr=|s3||s3+1||s3+2| Kr=2.32×1.32×0.32=0.98 Kr=1.023 s3=-2.325 Kr=1.001 即 Kr=1 s3=-2.325 s3 s1 s2 根据长除法有 s+2.325 s3+3s2+2s+1 =s2+0.675s+0.431 可得另两个极点 s2,3=-0.338±j0.56 闭环传递函数为: Φ(s)= (s+2.325)(s2+0.675s+0.431) 1 第四节 用根轨迹法分析系统性能 三、已知性能指标确定闭环