用法向量求异面直线间的距离.ppt

解得 -x+y=0, x+z=0. 即 y=x, z=-x * * 用法向量求异面直线间的距离 法向量的定义： 如果向量a⊥平面α，那么向量a叫做平面α的法向量. 异面直线间的距离 A B C D A1 B1 C1 D1 如何求A1D和AC间的距离? ↓ 即求线AC与面A1C1D的距离 ↓ 即求点A(或C)到面A1C1D的距离 求点到平面的距离 设A是平面α外的一点,AB是α的一条斜线,交平面α于点B,而n是平面α的法向量,那么向量BA在方向n上的正射影长就是点A到平面α的距离h. A B n θ ) h α 注意! 点B必须在平面内 c 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,求直线 A1D和AC间的距离. B C D A1 B1 D1 A C1 x y z 解:建立空间直角坐标系 第一步:先求平面 A1C1D的法向量 n 由题知:AC=(-1,1,0), A1D=(1,0,1) 设法向量n=(x,y,z) 所以n=(x,x,-x)=x(1,1,-1) 取n=(1,1,-1) 第二步:求A到平面A1C1D的距离 由图知AA1是平面A1C1D的斜线，向量AA1=（0，0，1）在向量n上的射影长为 h= 第三步：由于线AC平行于面A1C1D，所以点A到平面A1C1D的距离就是异面直线A1D与AC间的距离. 所以，所求的距离为 小结： 求两条异面直线间的距离步骤如下 1.先找到经过一条直线并且与另一条直线平行的平面α 2.求α平面的法向量 n 3.找到连接线与面向量 4.求这个向量在法向量 n 上的射影长,即为所求. 练习： 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1, E、F、G分别为B1C1、C1D1和A1D1的中点,求：（1）点A1到平面DBEF的距离. （ 2）并求直线AG与BD间的距离. B C D A1 B1 D1 A C1 x y z E F G 解: 建立如图的空间直角坐标系, 则由题知 DB=(1,1,0) ,DF=(0,1/2,1) ,DA1=(1,0,1) , 且AG∥BE 设平面DBEF的法向量为n=(x,y,z) ,则有: 即 令x=1,y=-1,z=1/2 取n=(1,-1,1/2) , 则A1到平面DBEF的距离h= 又由AG∥BE, 所以AG与BD间的距离就是A点到面DBEF的距离 同理可求得AG与BD间的距离为2/3.