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用空间向量处理立体几何的问题 张建华(用空处理几何) * 一、知识再现 用空间向量处理立体几何的问题 二、用向量处理角的问题 三、用向量处理距离和平行问题 四、用向量处理垂直问题 五、高考题回顾 六、 方法小结 点、线、面关系 两直线位置关系： 1、相交 2、平行 3、异面 直线与平面位置关系 1、直线与平面平行 (1)定义 (2)判定 (3)性质 2、直线与平面相交 (1)直线与平面所成的角 (2)射影长定理 两平面位置关系 1、两平面相交 二面角及其平面角 2、两平面平行 (1)定义 (2)性质 (3)判定 直线与平面垂直 1、定义 2、判定 3、性质 三垂线定理 三垂线逆定理 两平面垂直 (1)定义 (2)判定 (3)性质 一、知识再现 1、 一、知识再现 2、空间向量： (1)空间直角坐标系 (2)向量的直角坐标运算 (3)夹角和距离公式 (4)平面的法向量 返回 (1)空间直角坐标系 z x y o A(x,y,z) 返回 z x y o j k i (2)向量的直角坐标运算 返回 (3)夹角和距离公式 O j i k X Y Z A B 返回 如果 ⊥ ，那么向量 叫做平面 的法向量. 如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ (4)平面的法向量 返回 二、用向量处理角的问题 1、异面直线所成的角（0° 90°） 注意,由于两向量的夹角范围为 ,而异面直线所成角的范围为 ，若两向量夹角 为钝角,转化到异面直线夹角时为180° 。 a n P A O 2、直线与平面所成的角（0° 90°） 也可以直接转化为斜线PA与PA所在平面 内的射影的夹角，同1计算。 P B A l a b Q n m 3、二面角的平面角的计算（0° ） B A O B` A` O` D P X Y Z 分析：怎么建立空间坐标系 利用现有三条两两垂直的直线 注意已有的正、直条件 相关几何知识的综合运用 A B X Y Z A B X Y Z P A D G F E z x B y C 2004年福州市第一次统测试题 返回 例3、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG 平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG= GD，BG GC，GB=GC=2，PG=4，E是BC的中点。 (1)求异面直线GE与PC所成的角； (2)若F点是棱PC上一点，且DF GC，求 的值。 解：如图，建立空间直角坐标系。 F B 三、用向量处理距离和平行问题 A C D E G X Y Z X Y Z 评注：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。 四、用向量处理垂直问题 F E X Y Z 评注：本题若用一般法证明，容易证A’F垂直于BD，而证A’F垂直于DE，或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。 A B C F E D X Y Z A B C F E D X Y Z 返回 A B C A1 B1 C1 D E G X Y Z 五、高考题回顾 *