电动力学二三(分离变量法).ppt

第三节 拉普拉斯方程 分离变量法 * 基本问题：电场由电势描述 电势满足泊松方程+边界条件 只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体情况不同而有不同解法 本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法 具体的工作：解泊松方程 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． 例如 电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的 电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的 这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布． 选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度?＝0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程 它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中的通解为 anm, bnm, cnm, dnm为任意常数 若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为 例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 R2），使这个导体球接地。求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。 这问题有球对称性，电势φ不依赖于角度θ和Φ。设导体壳外和壳内的电势分别为 解 边界条件为： （1）内导体接地 （2）整个导体球壳为等势体 （3）球壳带总电荷Q， 将通解代入边界条件 由这些边界条件得 其中 利用这些值得电势的解 导体球上的感应电荷为 例2 电容率为ε的介质球置于均匀外电场E0中，求电势。 设球半径为R0，球外为真空（如图）。这问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0方向的轴线，取此轴线为极轴。 球内区域的电势 解 球外区域的电势 边界条件： （1）无穷远处， 因而 （2）R＝0处，?2为有限值，因此 （3）在介质球面上，有 则有 比较P1的系数得 可解出 其他Pn项的系数可解出为 所有常数已经定出，因此本问题的解为 在球内总电场作用下，介质的极化强度为 介质球的总电偶极矩为 ?1表达式中的第二项正是这个电偶极矩所产生的电势 例3 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中，求电势和导体上的电荷面密度。 用导体表面边界条件，照上例方法可解出导体球外电势 导体面上电荷面密度为 解