电动力学第二章第3节.ppt

* * §2. 3 拉普拉斯方程 分离变量法 、分离变量法的适用条件 四、应用实例 三、解题步骤 二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式 1、空间 ，自由电荷只分布在某些介质（或导 体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用 拉普拉斯方程。 一、拉普拉斯方程的适用条件 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分的和，即 ， 为已知自由电荷产生的电势， 不满足 ， 为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯方程 但注意，边值关系还要用 而不能用 二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式 1、直角坐标 （1）令 令 （2）若 （3）若 ，与 无关。 注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边界条件， 将与某些正整数有关，它们可取1，2，3，… ，只有对它们取和后才得到通解。 柱坐标 讨论 ，令 有两个线性无关解 、 单值性要求 ， 只能取整数，令 若 ， 3．球坐标 ——缔合勒让德函数（连带勒让德函数） 若 不依赖于 ，即 具有轴对称性，通解为 -----为勒让德函数 若 与 均无关， 具有球对称性， 通解： 三．解题步骤 根据具体条件确定常数 选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限； 分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解； （1）外边界条件： 电荷分布有限 注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定 （接地 ），或给定总电荷 Q，或给定 。 电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如 （直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。 均匀场中， （2）内部边值关系：介质分界面上 一般讨论分界面无自由电荷的情况 四．应用举例 1、两无限大平行导体板，相距为 ，两板间电势 差为V (与 无关)，一板接地，求两板间的 电势 和 。 x y O V Z 解：（1）边界为平面，故应选直角坐标系 下板 ，设为参考点 （2）定性分析：因在 （常数），可考虑 与 无关。 (4) 定常数： (5) 电场为均匀场 常数 电势： (3) 列出方程并给出解： 方程的解： 一对接地半无限大平板，相距为 ，左端有一极 板电势为 V（常数），求两平行板之间的电势。 x y z V 解：（1）边界为平面，选直角坐标系；上、下两平板接地，取为参考点；且当 （2） 轴平行于平板，且 与 无关，可设 （3）确定常数 A，B，C，D，k ① ② 通解 ③ ④ 两边同乘 并从0 → b积分： ∵ ∴ （m = 奇数） （m = 偶数） 令 半径a，带有均匀电荷分布 的无限长圆柱导体， 求导体柱外空间的电势和电场。 解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可选在导体面 r = a 处，即 选柱坐标系。 对称性分析： ① 导体为圆柱，柱上电荷均匀分布， 一定与 无关。 ② 柱外无电荷，电场线从面上发出后，不会终止到面上，只能终止到无穷远，且在导体面上电场只沿 方向，可认为 与z无关， x y z o r θ 当 r = a 时， 在导体面上 4．如图所示的导体球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，用分离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。 解：(1)边界为球形，选球坐标系，电荷分布在有限区，选 若将Q移到壳上，球接地为书中P48例题 （2）设球壳内为I区，壳外为II区。 球壳内: 球壳外 电荷在球上均匀分布，场有球对称性， 与 无关 I II