福州大学数理与概率统计第三章.pptVIP

例5. 若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X与Y独立。 证：Z=X+Y~N(0,2) 。 X~ N(μ1 , σ12) Y~ N(μ2 , σ22) Z1=X+Y~ N(μ1+μ2, σ12+σ22) X与Y相互独立 Z2=aX+bY~ N(aμ1+bμ2,a2σ12+b2σ22) Z=aX+bY X与Y相互独立 Z=X-Y 例6. 若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X与Y独立。 解: 当z0,显然FZ(z)=0, 当z≥0, 思考： 已知相互独立的随机变量X和Y的分布函数为FX(x)和FY(y), 求M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布函数。 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数. 又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为: 即有 FM(z)= FX(z)FY(z) FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z)P(Y≤z) =P(X≤z,Y≤z) 由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有 分析： P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z) 类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是 下面进行推广 即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)] =1-P(Xz,Yz) FN(z)=P(N≤z) =1-P(Nz) =1- P(Xz)P(Yz) 设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 我们来求 M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数. (i =0,1，…, n) 用与二维时完全类似的方法，可得 特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有 N=min(X1,…,Xn)的分布函数是 M=max(X1,…,Xn)的分布函数为: FM(z)=[F(z)] n FN(z)=1-[1-F(z)] n … … 若X1,…,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数. 留作课下练习. 当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有 FM(z)=[F(z)] n FN(z)=1-[1-F(z)] n 需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称 M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn) 为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值. 例7. 某元件由两个相互独立的元件A1,A2 连接而成，其连接方式分别为：S1:串 联;S2:并联。设A1,A2的寿命X,Y服从 指数分布。求两种系统S1, S2的寿命 的概率密度函数。 A1 A2 S1 A1 A2 S2 3.4 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 推广到随机变量 设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布. 这个分布就是条件分布. 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布. 体重X 身高Y 体重X 的分布 身高Y 的分布 现在若限制1.7Y1.8(米), 在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布. 容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样. 例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加 . 二维随机变量(X,Y)的分布 随机变量Y的分布 ??? X=x 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj)0，则称 为在Y=yj下，随机变量X的条件分布律. ?二维离散型随机变量的条件分布 p·j p·1 p·2 … p·j … pi· p1· p2 · . . . pi · . . . X Y x1 x2 . . . xi . . . y1 y2 ... yj … p11 p21 . . .