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* 专题一 函数与导数 * 1.高考考点 ①函数的图象及其变换;②函数图象的综合应用;③函数图象性质的深入研究;④抽象函数及其简单性质.涉及函数的对称性、周期性、单调性等、函数图象的平移.⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质. 在高考试题主要以选择题、填空题为主、难度多为基础题、中档题,重在考查识图、作图、用图的能力. * 2.易错易漏 ①对基本的初等函数图象不熟;②对常见的图象变换方法理解不到位、掌握不熟悉;③对函数的图象与性质的图象语言与等号之间的转化未能做到准确、熟练. 3.归纳总结 在研究函数的图象和性质中要注意利用定义法、赋值法、等价转化、换元法等,要熟悉基本初等函数和常用函数和图象及其性质. * 【解析】因为f(-x)=-f(x).答案为C. 2.将奇函数y=f(x)的图象沿着x轴的正方向平移2个单位得到图象C,图象D与C关于原点对称,则D对应的函数是( ) A. y=-f(x-2) B. y=f(x-2) C. y=-f(x+2) D. y=f(x+2) 1.函数f(x)= 的图象关于( ) A. y轴对称 B. 直线y=-x对称 C. 坐标原点对称 D. 直线y=x对称 【解析】 y=f(x)?y=f(x-2)?y=-f(-x-2),即y=f(x+2).所以选D. * * * 4.(2010·宁德高三教学质检)若f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则可写出满足条件的一个函数解析式f(x)=2x.类比可以得到:若定义在R上的函数g(x),满足 (1)g(x1+x2)=g(x1)·g(x2); (2)g(1)=3; (3)?x1x2,g(x1)g(x2),则可以写出满足以上性质的一个函数解析式为__________. 【答案】g(x)=3x * 5.已知函数y= ,给出下列四个命题: ①函数的图象关于点(1,1)对称; ②函数的图象关于直线y=2-x对称; ③函数在定义域内单调递减; ④将函数图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位后与函数y= 重合. 则其中正确命题的序号是__________. 【解析】因为y=1+ ,只有③错,因为它有两个单调区间,因此应填①②④. * 1.函数的图象变换有:平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换等.借助图象可以讨论函数的单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势),处理涉及函数图象与性质的一些综合性问题. 2.常见的函数性质特征有: 奇函数:f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0; 偶函数:f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0; * * 题型一 简单的抽象函数问题 【解析】由f(2+x)=f(2-x)知直线x=2是函数图象的对称轴,又f(x)=0有四根,现从大到小依次设为x1、x2、x3、x4,则x1与x4,x2与x3均关于x=2对称, 所以x1+x4=x2+x3=2×2=4,所以x1+x2+x3+x4=8. 【例1】已知函数f(x)对一切实数x都有 f(2+x)=f(2-x),如果方程f(x)=0恰好有4个不同的实根,求这些实根之和. * 【点评】一般地,若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则直线x=a是函数图象的对称轴,利用对称性,数形结合,可使抽象函数问题迎刃而解. * 题型二 函数图象的应用 【例2】如图,点A、B、C都在函数y= 的图象上,它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a). (1)求函数f(a)和g(a)的表达式; (2)比较f(a)与g(a)的大小,并 证明你的结论. * 【解析】(1)连接AA′、 BB′、CC′, 则f(a)=S△AB′C =S梯形AA′C′C - S△AA′B′-S△CC′ * 【点评】本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.要充分借助图象信息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口. * 题型三 函数图象与性质的综合 【例3】已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x) (-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时
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