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离散傅里叶变换 §1.1 离散傅里叶变换（DFT） 则DFS变换对可写为 §1.1.2 离散傅里叶变换（DFT） 频域上的主值区间与主值序列： DFT的矩阵方程表示 DFT特性： 循环移位 循环移位 循环卷积过程: 有限长序列的线性卷积： 循环卷积： 比较线性卷积与循环卷积 移位前 左移两位后 证：利用周期序列的移位特性： 实际上，利用WN-mk的周期性，将f(n)=x((n+m))NRN(n)代入DFT定义式，同样很容易证明。 序列循环移位后的DFT为 F（k）=DFT[f（n）]= x（k） 同样，对于频域有限长序列X(k)的循环移位，有如下反变换特性： IDFT[X((k+l))NRN(k)]= x（n） （3）循环卷积 若 F（k）=X（k）Y（k） 则 或 证：这个卷积可看作是周期序列 卷积后再取其主值序列。将F（k）周期延拓，得： 则根据DFS的周期卷积公式： 因0≤m≤N-1时，x((m))N=x(m)，因此 经过简单的换元可证明： 这一卷积过程与周期卷积比较，过程是一样的，只是这里只取结果的主值序列，由于卷积过程只在主值区间0≤m≤N-1内进行，所以 实际上就是 y（m）的圆周移位，称为“循环卷积”，习惯上常用符号“?”表示循环卷积，以区别于线性卷积。 1）由有限长序列 x(n)、y(n) 构造周期序列 2）计算周期卷积 3）卷积 结果取主值 同样，若 f(n)=x(n)y(n)， 则 （4）有限长序列的线性卷积与循环卷积（循环卷积的应用） 实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号 x(n)通过系统 h(n) ，其输出就是线性卷积 y(n) = x(n) * h(n)。而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。 现在我们来讨论上述 x(n)与h(n)的线性卷积，如果 x(n) 、 h(n)为有限长序列，则在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真。 假定 x(n)为有限长序列，长度为N， y(n)为有限长序列，长度为M， 它们的线性卷积f(n) = x(n) * y(n)也应是有限长序列。 因 x(m)的非零区间： 0≤m≤N-1， y(n-m)的非零区间： 0≤n-m≤M-1， 这两个不等式相加，得： 0≤n≤N+M-2， 在这区间以外不是x(m) =0，就是y(n-m) =0，因而f(n)=0。因此， f(n)是一个长度为N+M-1的有限长序列。 重新构造两个有限长序列 x(n)、y(n)，长度均为 L max{N,M} ，序列 x(n)只有前N个是非零值，后L-N个为补充的零值；序列 y(n)只有前M个是非零值，后L-M个为补充的零值。为了分析 x(n)与y(n)的循环卷积，先看x(n),y(n)的周期延拓： 其中f(n)就是线性卷积，也就是说，x(n)、 y(n)周期延拓后的周期卷积，是x(n) 、 y(n)线性卷积的周期延拓，周期为L。 它们的周期卷积序列为： 根据前面的分析，f（n）具有 N+M-1 个非零序列值，因此，如果周期卷积的周期 LN+M-1，那么 f（n）周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重叠，出现混淆现象。只有 L≥N+M-1 时，才不会产生交叠，这时 f（n）的周期延拓 中每一个周期L内，前N+M-1个序列值是f（n）的全部非零序列值，而剩下的 L —（N+M-1）点的序列则是补充的零值。 循环卷积正是周期卷积取主值序列： 所以使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是： L≥N+M-1? 例: 设有两个序列，x(n)为N=4矩形序列，y(n)为M=6矩形序列，观察其线性卷积和圆周卷积。 由线性卷积定义可直接验证，两者的线性卷积f(n)=x(n)*y(n)具有N+M-1=9个非零值,其结果见下图左半部分(c)，不同L下的圆周卷积结果在图的右半部分。 图 线性卷积和