离散型随机变量(高等数学).pptVIP

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第二章 离散型随机变量 一维离散型随机变量及分布列 二维随机变量、联合分布列和边际分布列 随机变量函数的分布列 随机变量的数学期望 随机变量的方差 条件分布及条件数学期望 §2.1一维离散随机变量 一、定义:设S={e}是试验的样本空间,如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个e? S ,有一实数X=X(e)与之对应,则称X为随机变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 ?、?、?等表示。 二、一维离散型随机变量 3、几个常用的离散型分布 (2)二项分布(p63) 若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数,则称X服从参数为n,p的二项分布, 记作X~B(n,p)。其分布律为: 4、边际分布律 问题:联合分布列与边际分布列有什么关系? 例3:袋中有5张外型相同的卡片,其中3张写上数字0,另两张写着数字1现从袋中任取两张,分别以X、Y表第一张与第二张上的数字,对有放回与不放回两种方式,分别求(X,Y)的联合分布列。 三、随机变量的相互独立性 定义2.3:设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为P{X=xi,Y=yj}=Pij,i,j=1,2,…。若对任意i,j,有Pij=Pi?P?j 。则X与Y相互独立。 §2.3 离散型随机变量函数的分布 例2.1:设X服从参数为 的普哇松分布的随机变量,又 试求的Y=f(X)分布列。 二、二维离散型随机变量函数的分布律 例2.12:设X、Y是两个独立的随机变量,它们分别服从参数为 的普蛙松分布,求Z=X+Y的分布列。 §2.4数学期望的定义与性质 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 四.数学期望的性质 例2:设随机变量X1、X2、X3、X4相互独立,且有EXi=i,DXi=5-i,i=1,2,3,4 设Y=2X1-X2+3X3-0.5X4,求:E(Y),D(Y) 二、条件数学期望 定义2.7:若随机变量X在Y=yj条件下的条件分 布列为 则称 为X在Y=yj条件下的数学期望,简称条件期望, 记为 例2.19:某射手进行射击,每次射击击中目标的概率为p(0p1),射击进行到击中目标两次停止。令X表示第一次击中目标时的射击次数,Y表示第二次击中目标时的射击次数,试求联合分布列pij,条件分布列pi/j及pj/i条件期望E{X/Y=n}. 三、条件数学期望的性质 2、若a,b是两个常数,又 掷一颗均匀的骰子,以X表示掷得的点数,求X的数学期望。 例2: 1.0-1分布的数学期望 EX=p 2. 二项分布B(n, p) 二.几个重要r.v.的期望 3.普哇松分布 例1:设随机变量X的分布律为 求随机变量Y=X2的数学期望。 X Pk -1 0 1 三.随机变量函数的期望 2.2: 若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 且 则Y=g(X)的期望E(g(X))为 定理2.3:若(X, Y)~P{X=xi ,Y=yj,}= pij,i,j=1,2, … , 且 则Z= g(X,Y)的期望 定理 设随机变量(X,Y)的分布列如下,求E(XY)。 例4: X Y 1 2 0 1 0.15 0.15 0.45 0.25 1. E(c)=c,c为常数; 2. E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),a,b 为常数; 3. 若X与Y独立,则E(XY)=E(X)E(Y). 解:设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 例3 :若X~B(n,p),求E(X)。 一. 方差的定义 方差是衡量随机变量取值波动 程度 的一个数字特征。 如何定义? §2.5方差的定义及性质 : 若E(X),E(X2)存在,则称 E[X-E(X)]2 为r.v. X的方差,记为D(X),或Var(X). 称 为r.v.X的标准差 易见: 1.定义 推论:D(X)=E(X2)-[E(X)]2. (1) D(c)=0 反之,若D(X)=0,则存在常数C,使 P{X=C}=1, 且C=E(X); (2) D(aX)=a2D(X), a为常数; 二、 方差的性质 (3)若 X,Y 独立,则 D(X+Y)=D(X)+D(Y); 1. 二项分布B(n, p): 三、几个重要r.v.的方差 2. 普哇松分布p(?): 设随机变量X与Y的联合分布列为 (X, Y)~ P{X=

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