离散型随机变量的均值.pptVIP

第一章 计数原理 北师大(珠海)附中 曲线和方程 Qu xian he fang cheng 纪迎春 淮北市实验高级中学 2.3.1离散型随机变量的均值 1、离散型随机变量的分布列指出了什么？ 一、朝花夕拾 p2 x2 … … pn xn … … p1 P x1 ξ 2、离散型随机变量分布列能否反映随机变量取值的平均水平？ 随机变量的分布列从概率的角度指出了随机变量的分布规律，但不能明显反映随机变量取值的平均水平. 某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果按3:2:1的比例，混合销售. 二、引例 (1)设从中任取一颗糖果，其单价为ξ元/kg，试写出ξ的分布列； P ξ 18 24 36 (2)如何对混合糖果定价才合理? (加权平均) Eξ＝ p2 x2 … … pn xn … … p1 P x1 ξ 三、离散型随机变量的期望 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 　 则称 Eξ＝ ，简称为期望． 离散型随机变量的均值，它反映了随机变量ξ取值的平均水平， x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为随机变量ξ的均值或数学期望 在多次重复试验中，我们可以期望随机变量的平均值，在这个值附近。 思考：P64 练习 1 例1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中概率为0.7，求他罚球1次的得分的期望 . 因为P(ξ＝0)＝0.3，P(ξ＝1)＝0.7， 所以 Eξ＝0×P(ξ＝ 0)＋1×P(ξ＝1) ＝ 0×0.3 ＋1×0.7＝0.7． 解： ξ的可能取值有 0, 1. 罚球一次的得分ξ的分布列如下： 0.7 1 0.3 P 0 ξ ①列出分布列 ②根据公式求解 点评: 解题步骤 设罚球1次的得分为ξ， (1) 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，求得分的期望. 课堂练习1 (2).随机抛掷一个骰子，求所得骰子点数ξ的期望Eξ. (3).两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出现的次品数ξ1，ξ2的分布列是 0.1 0.2 0.3 0.4 P 3 2 1 0 ξ 0 0.2 0.5 0.3 P 3 2 1 0 ξ 哪台车床质量更好一些？ 点评: 实际工作中，常通过比较随机变量的期望作出某种判断。 篮球远动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中概率为0.7，求他罚球1次的得分ξ的分布列，并求Eξ. 若随机变量η=3ξ+2，则Eη= ? η P 1 0 ξ 2 5 Eη=2×0.3+5×0.7 =4.1 3Eξ+2 0.3 0.7 四、期望的性质 Eξ ＝0.7 Eη= 观察Eη与Eξ的关系 一般的，若η=aξ+b,则 Eη=aEξ+b. pn xn axn+b … … p2 p1 P … … x2 x1 ξ … … ax2+b ax1+b η Eη=p1(ax1+b)+p2(ax2+b)+…+pn(axn+b)+… =a(p1x1+p2x2+…+pnxn+…)+b(p1+p2+…+pn+…) =aEξ+b 猜想 特别地,a=0时,η=b,则 Eη=0×Eξ+b=b. 即 Eb=b (b为常数). 期望的性质 (1)E(aξ+b)= (2)E(b)= (b为常数) (3)E(ξ1+ξ2)= aEξ+b b Eξ1+Eξ2 五、特殊分布的期望 服从二项分布的随机变量ξ的期望又是怎样的？ 一次试验中，某事件发生的概率为0.2， ξ~B(10, 0.2)， 你觉得10次试验中该事件平均发生几次？n次试验呢？ 特殊分布的期望 (1)若ξ~B(n, p)，则Eξ= 你能猜出一般二项分布的期望吗？ np 在10次试验中，该事件发生的次数 若ξ服从二项分布，既ξ~B(n, p)，特别的，当n=1时，则ξ服从什么分布呢？ (2)若ξ服从两点分布，则Eξ= p 例1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中概率为0.7，求他罚球1次的得分的期望 . 另解： 依题意ξ~B(1, 0.7) 设罚球1次名中ξ次， 故Eξ=1× 0.7=0.7 答：罚球1次的得分的期望为0.7 (1)罚球2次呢？ (2)若每次罚球命中得2分呢？ 点评: 若判定随机变量服从特殊分布，则不必按一般步骤求期望，可按如下步骤进行： (1)判定服从何种分布； (2)用公式算期望； 例2 一次测验由20个选择题构成，每题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则