离散数学(刘任任版)第2章答案.pptVIP

习题二 1. (1). R={1,1,1,3,3,1,3,3} 2. 设R是定义在集合A上的二元关系。 (1). 设A= ?，则R= ?既是自反的又是反自反的. (2). 令A={1，2}，R={1，1}，于是R既不是自反又不是反自反的； (3). 令A={1，2}，R={1,1,2,2},于是R既是对称又是反对称的； 3. 设A={X1,X2 ,…,Xn}，于是定义在A上的二元关系R中的元素来自于下列矩阵： x1,x1 x1,x2 … x1,xn x2,x1 x2,x2 … x2,xn …. xn,x1 xn,x2 … xn,xn (2)共有 种定义在A上的不同的自反关系；说明: ∵A上的自反关系必须满足所有形如x,x的序偶包含在关系中，而形如x,x的序偶有n个。即|A×A-{x,x}|=n2-n ∴在构造A上的自反关系的时候可以先将所有的x,x放到这些关系中再考虑其他序偶的组合。即|β(A×A-{x,x})|=2n2-n (3)共有 种定义在A上的不同的反自反关系；说明: ∵A上的反自反关系必须满足所有形如x,x的序偶不能包含在关系中， ∴在构造A上的反自反关系的时候可以先将所有的x,x拿出后再考虑其他序偶的组合。即β(A×A-{x,x})=2n2-n (4)共有 种定义在A上的不同的对称关系; 说明: ∵A上的对称关系必须满足：如果x,y在这个关系中，则y,x也必须在这个关系中。 ∴在构造A上的对称关系的时候可以先将所有的x,y和y,x（其中x≠y）看成是一个整体。 ∴要考虑的序偶的个数有： n+(n2-n)/2=n(n+1)/2 ∴β({x,x}+(A×A-{x,x})/2)=2(n2+n)/2 (5)共有 种定义在A上的不同 的反对称， 其中， 。 4. (1) 自反关系矩阵的主对角线上元素全为1；而关系图中每个结点上都有圈（即若关系R是自反的，当且仅当在关系矩阵中，对角线上的所有元素都是1，在关系图上每个结点都有自回路）。 (2) 反自反关系矩阵的主对角线上元素全为0; 而关系图中每个结点上均无圈（即若关系R是反自反的，当且仅当在关系矩阵中，对角线上的所有元素都是0，在关系图上每个结点都没有自回路） 。 5. R·S={1,4,1,3},S·R={3,4}; R 2={1,1,1,2,1,4}; S 2={2,2,3,4,3,3}. 6. 设R={3,1,3,2},T={1,3,3,2},S={1,2,2,3},P={2,1,3,1}, 7. ? (1) 正确。因为对任意x∈A，有xRx，xSx,所以x(R·S)x。故R·S是自反的。 (2) 错误。例如，设x,y∈A，x≠y,且xRy，ySx，于是x(R ·S)x。故R ·S不是反自反的。 (4) 错误。例如，设反对称关系R={x,z,y,w},S={z,y,w,x},x≠y。于是，R·S={x,y,y,x}。故R·S不是反对称的。 (5) 错误。例如，设传递关系R={x,w,y,v},S={w,y,v,z},w≠v。于是，R·S={x,y,y, z}，显然， R·S不是一个传递关系。 思考：假设R，S是定义在有限集合A上的满足下表列标题性质的二元关系，试判断下表行标题所列二元关系是否具有相应性质。 思考：假设R，S是定义在有限集合A上的满足下表列标题性质的二元关系，试判断下表行标题所列二元关系是否具有相应性质。 8. (3)由定义， 9. 设R1和R2是集合A上的二元关系。注意到 (3)由定义， 10.说法不正确. 这是因为自反性要求对任意的x和x都有关系R, x和y有没有关系R,我们不考虑；但是,我们题目中得出的结论x和x具有关系R,是以对称性为前提条件的,所以我们知道该论述不正确。 11. 设R是等价关系。若x,y,x,z∈R，则由R的对称性知, y,x ∈R。再由R的传递性有y, z∈R。 反之, 假设只要x, y, x, z ∈R，就有y, z∈R。 (1)对称性。 设 x, y ∈R，由自反性有x, x∈R。于是y, x∈R。 (2)传递性。 设x, y, y, z∈R。由对称性有y, x∈R, 再由假设有x, z∈R。 1