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离散数学 Discrete Mathematics School of Mathematics and Computing Science 第四篇 代数系统 什么是代数结构 由集合以及集合上的运算组成的数学结构 称为代数结构（也称为代数系统）. 代数结构是抽象代数的一个主要内容. 研究的中心问题： 集合上的抽象运算及运算的性质和结构。 关于代数结构 研究意义：研究抽象代数结构的基本特征和基本结构，不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领域。 应用： 现代数学，如拓扑学、泛函分析，等 计算机科学：如 半群?自动机、形式语言 群?纠错码的设计 格和布尔代数?计算机硬件设计、通讯系统设计 其他：代数方程求解、物理、化学 主要内容 第12章 代数结构的概念 第13章 半群与群 第14章 环和域 第15章 格与布尔代数 第12章 代数结构的概念 第1节 代数运算及其性质 第2节 代数结构的同态和同构 重点： 代数结构的判定与构造，代数结构关系：同态、同构 难点： 同态基本定理 代数运算、代数结构 S是非空集合，映射 f: Sn?S称为S上的n元运算。 写法: f(a,b)=c可改写为: a f b=c 例如，在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法，都是在集合R上的二元运算。 例1〈Z; +,＊〉, 〈Z; -, ＊〉,〈N, - 〉, 〈{T,F}; ┐,∧,∨〉, 〈P(A); ∪,∩〉 是否代数系统？ 需要满足的条件？ 代数系统的基本概念 一个代数系统需要满足以下三个条件： 有一个非空集合S； 有一些建立在集合S上的运算； 这些运算在S上是封闭的。 例 在整数集合 I 上定义 ? 如下： 对任何 其中的+，? 分别是通常数的加法和乘法。 那么 ? 是一个从 I 2 到 I 的函数， 易知 ? 在集合 I 上是封闭的，I， ? 是 一个代数系统。 代数系统的基本概念 如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个相对应的运算符的元数是相同的，则称这两个代数系统是同类型的。 定义：两个代数系统(U，?)与(U?，*) ，如果满足下列条件： U?? U； 若a ?U?，b?U?，则a*b =a ? b；则称(U?，*)是(U，?)的子系统或子代数 。 代数运算及其性质 设有代数系统(S，*)，对?a，b，c?S，如果有 (a*b)*c= a*(b*c), 则称此代数系统的运算满足结合律。 例：设A是一个非空集合， ★是A上的二元运算，对于任意a，b?A，有a★b=b，证明：★是满足结合律的。 证：∵ 对于任意的a，b ，c? A， (a ★b)★c= b ★c= c 而a★(b★c)=a★ c= c， ∴(a★b)★c= a★(b★c) ∴★是满足结合律的. 交换律 设有代数系统(S，*)，如果对于?a，b ?S，有a*b = b*a，则称此代数系统的运算“ * ”满足交换律。 例：在整合集合 I 上定义运算 ? ： 对任何 其中的 +，? 分别是通常数的加法和乘法。 ? 可以满足交换律吗？ 分配律(左分配，右分配) 设有代数系统(S，?，*)，对?a,b,c?S，如果有 a?(b*c)=(a?b)*(a?c)，则称 “?”运算对“*”运算满足左分配律。 若“*”对“?”满足a*(b?c)=(a*b)?(a*c)，则称 “*”对 “?”满足左分配律 若有(a* b)?c=(a* c)?(b* c)，则称“?” 对“*” 满足右分配律。 若(a?b)*c=(a* c)?(b* c)，则称“*”运算对“?”运算满足右分配律。 例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。 是否满足交换律？ 单位元( 幺元) 一个代数系统(S，*)， 若存在一个元素e?U，使得对 ?x?S，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。 注意： 单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。 左单位元或右单位元(左幺元或右幺元) 一个代数系统(S，?)， 若存在一个元素el?S，使得对?x?S，有：el?x =x，则称 el 为对于运算“ ? ”的左幺元 。 若存在一个元素er?S，使得对?x?S，有：x ? er=x，则称 er为对于运算“ ? ”的右幺元 。 例 设代数系统(N，*)，* 的定义为： 对 那么，(N，*)有没有单位元？左幺元？右幺元？ 解：对任何 因此 1 是右幺元。 但 1 不是左幺元，