离散数学一些特殊的图.pptVIP

* Hall定理 定理(Hall定理) 设二部图G=V1,V2,E中，|V1|?|V2|. G中存 在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k 个顶点至少与V2 中的k个顶点相邻(k=1,2,…,|V1|). 由Hall定理不难证明, 上一页图(2)没有完备匹配. Hall定理中的条件称为“相异性条件” * 定理 设二部图G=V1,V2,E中, 如果存在t?1, 使得(1)V1中每个顶点至少关联 t 条边, (2)而V2中每个顶点至多关联t条边，则G中存在V1到V2的完备匹配. (充分条件) 证明 如果(1)成立, 则与V1中k (1≤k≤|V1|)个顶点相关联的边的总数, 至少是kt条。根据(2)这些边至少要与V2中k个顶点相关联。 这就得出V1中每k (1≤k≤|V1|)个顶点, 至少邻接到到V2中k个顶点。 定理中的条件称为 t 条件. 满足 t 条件的二部图一定满足相异性条件. * 因此，当给出一个二分图后。 判断G中存在从V1到V2的完备匹配方法: 先找出V１中的每个结点的度数，令r＝minv∈V1{d(v)}。再找出V２中的每个结点的度数，令R＝maxv∈V2 {d(v)}。若r≥R，则问题有解，取t为r即可。但这只是充分条件，若不满足，则还要用充要条件来判断。 * 图9.64中的二部图满足t的条件。其中t=3。因此在图9.64中存在V1到V2的完备匹配。 * 一个应用实例 例 某课题组要从a, b, c, d, e 5人中派3人分别到上海、广州、香港去开会. 已知a只想去上海，b只想去广州，c, d, e都表示想去广州或香港. 问该课题组在满足个人要求的条件下，共有几种派遣方案？ 解 令G=V1,V2,E, 其中V1={s, g, x}, V2={a, b, c, d, e}, E={(u,v) | u?V1, v?V2, v想去u}, 其中s, g, x分别表示上海、广州和香港. G如图所示. G 满足相异性条件，因而可给 出派遣方案，共有9种派遣方案 (请给出这9种方案). * 练习： 1.某单位按编制有7个空缺：p1, p2, …..p7.有10个申请者： a1, a2, …..a10.他们合格的工作岗位依次为：, {p1,p5,p6},{p2,p6,p7},{p3,p4},{p1,p5}{p6,p7},{p3},{p2,p3}, {p1,p3},{p1},{p5}，如何安排他们的工作，使有工作的人最多。 2.某单位有6个未婚女子L1,L2,…,L6和6个未婚男子g1,g2,…,g6,每个人都有意中人，L1:{g1,g2,g4},L2:{g3,g5},L3:{g1,g2,g4},L4:{g2,g5,g6},L5:{g5,g6}, L6:{g3,g5,g6};而g1:{L1,L3,L6},g2:{L2,L4,L6},g3:{L2,L5},g4:{L1,L3},g5:{L2,L6}, g6:{L3,L4,L5},请问如何匹配，使男女双方都有满意的婚姻且结婚的对数最多。 * 第8章 一些特殊的图 8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密顿图 8.4 平面图 * 8.1 二部图 二部图 完全二部图 匹配 极大匹配 最大匹配 匹配数 完备匹配 * 二部图 定义 设无向图 G=V,E, 若能将V 分成V1 和 V2 (V1?V2=V, V1?V2=?), 使得G中的每条边的两个端 点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图(二分图), 记为V1,V2,E, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G 是简单图, 且V1中每个顶点均与V2中每个顶点都相 邻, 则称G为完全二部图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|. (a) (b) 以上两个图都是二部图，其中(b)图是完全二部图。 * 例 完全二分图Km, n=(V1,V2,E)共有 多少条边? 解 因为V1中每个顶点都与V2 中每个顶点相邻接,所以V1 中每个顶点关联 |V2| = n 条边; 而V1 中有m个顶点, 所以Km, n共有mn条边。 * 二部图的判别法 定理 无向图G=V,E是二部图当且仅当G中 无奇圈 。即G中的每一条回路都是由偶 数条边组成。 证明：当G(V1,V2)是二部图时，G中的任意一条回路的各边必须往返于V1,V2之间，因此其回路必由偶数条边组成。 * 例：判断下图是否为二部图。 解：图中的每一条回路都是由偶数条边组成。所以此图为二部图。 → * 匹配 设G = (V, E)是具有互补顶点子集V1和V2的二 分图, M ? E, 若M