离散数学习题课-图论.pptVIP

第七章 图论 第七章 图论 图 论 * * of 220 图的基本概念 主要内容 无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、子图、补图；握手定理与推论；图的同构 通路与回路及其分类 无向图的连通性与连通度 有向图的连通性及其分类 图的矩阵表示 最短路径 * * of 220 基本要求 深刻理解握手定理及推论的内容并能灵活地应用它们 深刻理解图同构、简单图、完全图、子图、补图、的概念以及它们的性质及相互之间的关系 记住通路与回路的定义、分类及表示法 深刻理解与无向图连通性、连通度有关的多个概念 会判别有向图连通性的类型 熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与回路数的方法，会求可达矩阵 * * of 220 练习1 9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就是6. 证明G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点. 方法一：穷举法 方法二：反证法 设G中有x个5度顶点，则必有(9?x)个6度顶点，由握手定理推论可知，(x,9?x)只有5种可能：(0,9), (2,7), (4,5), (6,3), (8,1）它们都满足要求. 否则，由握手定理推论可知，“G至多有4个5度顶点并且至多有4个6度顶点”，这与G是 9 阶图矛盾. * * of 220 练习2 (1) D中有几种非同构的圈？ (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ (3) D是哪类连通图? (4) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？ (5) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少 条？讨论它们的类型. (6) D中长度为4的通路（不含回路）有多少条？ (7) D中长度为4的回路有多少条？ (8) D中长度?4的通路有多少条？其中有几条是回路？ (9) 写出D的可达矩阵. 3．有向图D如图所示，回答下列各问： * * of 220 练习2 (续) (1) D中有几种非同构的圈？ (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ (3) D是哪类连通图? (1) D中有3种非同构的圈，长度分别为1,2,3. (2) D中有3种非圈的非同构的简单回路，它们的长度分别为 4,5,6. (3) D是强连通的. * * of 220 练习2(续) D的邻接矩阵的前4次幂. (4) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？ (5) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少 条？讨论它们的类型. * * of 220 练习2(续) (4) v1到v4长度为1,2,3,4的通路数分别为0,0,2,2. 其中只有长度为4的两条是非初级的简单通路（定义意义下），见下图所示. * * of 220 练习2(续) (5) v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为1,1,3,5. 其中长度为1的是初级的(环)；长度为2的是复杂的；长度为3的中有1条是复杂的，2条是初级的；长度为4的有1条是复杂的，有4条是非初级的简单回路. (6) 长度为4的通路(不含回路)为33条. (7) 长度为4的回路为11条. (8) 长度?4的通路88条，其中22条为回路. (9) 4?4的全1矩阵. * * of 220 习题3 求最短路径 Dijstra算法 V2 V1 3 V3 V6 V7 V4 V5 9 1 4 2 1 8 7 3 6 2 5 * * of 220 树 主要内容 无向树及其性质 生成树、最小生成树 根树及其分类、最优树 * * of 220 习题课 基本要求 深刻理解无向树的定义及性质 熟练地求解无向树 准确地求出给定带权连通图的最小生成树 克鲁斯卡尔算法与普里姆算法 会画n阶（n较小）非同构的无向树及根树（1?n?6） 熟练掌握求最优树的方法 * * of 220 习题1 已知无向树T中有2个3度顶点，3个2度顶点，其余顶点全是树叶，试求树叶数 解 解本题用树的性质m=n?1，握手定理. 设有x片树叶，于是 n = 2+3+x =5+x, 2m = 2(n?1) = 2?(5+x) = 2?3+3?2+x 解出x = 2，故T有2片树叶. * 7.8 根树 * of 220 习题2 求带权5,9,11,13,17的最优树. 解 * * of 220 习题3 求最小生成树 克鲁斯卡尔算法与普里姆算法 * * * 第七章 图论 第七章 图论 * * *