离散数学-代数系统.pptVIP

三、幺元、零元 零元定义： 设*是S上的二元运算, (1)若存在θl∈S，对所有x∈S，都有θl * x=θl，则称θl是为关于运算*的左零元(Left Zero Element)。 (2)若存在θr∈S，对所有x∈S，都有x*θr=θr，则称θr是关于运算*的右零元(Right Zero Element)。 (3)若存在θ∈S，它既是左零元也是右零元，则称θ是关于运算*的零元，即对任意x∈S，都有θ*x=x*θ=θ，则θ是关于运算*的零元(Zero Element)。 * a b c a a b b b a b c c a b a 在例2中代数A={a,b,c},*的右零元为a,b；没有左零元。 三、幺元、零元 例4：(1) I, × 么元：1, 零元：0； (2) S非空有限集，代数ρ(S), ∪, ∩, ˉ, ? , S 么元 零元 对∪：? S 对∩： S ? * a b c a a b b b a b c c a b a 例2的代数中： 右零元：a, b；左零元：无；右么元：无；左么元：b 可以看出： 左(右)零元不一定存在； 左(右)零元存在时也不一定唯一； 左零元与右零元可能同时存在。 三、幺元、零元 定理1：设*是定义在集合A上的二元运算，且A中关于运算*的左幺元为el，右幺元为er，则el = er=e，且A中的幺元是唯一的。 证明：因为el和er分别为左幺元和右幺元，所以el = el *er=er=e。设另有一幺元e′,则e′=e′*e=e，所以幺元唯一。 定理2：设*是定义在集合A上的二元运算，且A中关于运算*的左零元为θl，右零元为θr，则θl=θr=θ，且A中的零元是唯一的。 定理3：设A,*是一个代数系统,且集合A中元素的个数大于1.如果该代数系统中存在幺元e和零元θ,则θ≠e。 证明：用反证法，假如幺元e =零元?，那么对于任意x?A,必有x=e*x=θ*x=θ=e。于是，A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。 四、逆元 逆元定义： 设*是A上的二元运算,e是A中关于*的么元， (1) 若对元素a∈A，存在b∈A，使b*a=e，则称b是a的左逆元； (2) 若对元素a∈A，存在b∈A，使a*b=e，则称b是a的右逆元； (3)若对元素a∈A，存在b∈A，使a*b=b*a=e，则称b是a的逆元，记为a-1。 例如I, +中么元为0，x 的逆元为-x。 一般来说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元； 一个元素可以有左逆元而无右逆元，甚至一个元素的左（右）逆 元还可以不唯一。 四、逆元 例5(1)：N,+么元为0，仅0有逆元; R, ·么元为1,仅零元0无逆元,其它元素x均有逆元。 例5(2)：设Nk是前k个自然数的集, 这里k＞0, Nk ={0, 1, 2, …,k-1}，定义模k加法+k如下: 对每一x、y∈Nk， 么元为0； Nk的每一元素有逆元，0的逆元是0，每一非0元素x的逆元是k-x。 例5(3)：设Nk是前k个自然数的集, 这里k≥2, 定义模k乘法×k如下:x ×k y = z，这里z∈Nk,且对某一n, xy-z=nk,即 1是么元，元素x∈Nk在Nk中有逆元仅当x和k互质。 四、逆元 1是幺元，逆元是它本身 0,2无逆元，3的逆元为3 0无逆元， 1的逆元为1， 2的逆元为3， 3的逆元为2， 4的逆元为4 四、逆元 定理4：对于可结合运算, 如果一个元素x有左逆元l和右 逆元r,那么l=r=x－1(即逆元是唯一的)。 证明 : 设e对运算*是么元, 于是l * x = x * r = e 根据运算*的可结合性, 得到 l = l * e = l *(x * r ) = (l * x) * r = e * r = r 设x有两个逆元a,b,那么 a = a * e = a * ( x * b ) = ( a * x ) * b = e * b = b 所以逆元是唯一的。 可约性定义：设*是S上的二元运算, a∈S, 如果对于每一x、y∈S有(a * x=a * y)∨(x * a=y * a) ?(x=y)，则称a是可约的或可消去