离散数学二元关系.pptVIP

* * 定义7.1 由两个元素x 和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对或序偶，记作x,y，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素. 注：有序对具有如下性质： （1）有序性 x,y≠y,x （当x≠y 时） （2）x,y与u,v相等的充分必要条件是x=u且y=v. 这些性质是二元集{x,y}所不具备的.例如当x≠y 时有{x,y}={y,x}. 第一节 有序对与笛卡儿 一、有序对 第七章 二元关系 二、笛卡儿积 定义7.2 设A,B 为集合，用A中元素为第一元素,B中的元素为第二元素构成有序对.所有这样的有序对组成的集合叫做A 与B 的笛卡儿积,记作A×B. 笛卡儿积的符号化表示为 A×B = {x,y| x∈A∧y∈B} 例 A={1,2,3}, B={a,b,c} A×B = {1,a,1,b,1,c,2,a,2,b,2,c,3,a,3,b,3,c} B×A = {a,1,b,1,c,1,a,2,b,2,c,2,a,3,b,3,c,3} 注:笛卡儿积的性质 （1）不适合交换律 A×B ≠ B×A (A≠B, A≠?, B≠?) （2）不适合结合律 (A×B)×C ≠ A×(B×C) (A≠?, B≠?, C≠?) （3）对于并或交运算满足分配律 A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) (B∪C)×A = (B×A)∪(C×A) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A) （4）若A 或B 中有一个为空集，则A×B 就是空集. A×? = ?×B = ? （5）若 |A| = m, |B| = n, 则 |A×B| = mn 例7.3 （1) 证明A=B,C=D ? A×C=B×D （2）A×C = B×D 是否推出A=B,C=D? 为什么？ 解 （1）任取x,y x,y∈A×C ? x∈A∧y∈C ? x∈B∧y∈D ? x,y∈B×D （2) 不一定.反例如下：A={1}，B={2}, C = D = ?, 则A×C = B×D 但是A ≠ B. 第二节 二元关系 一、二元关系的定义 定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如果x,y∈R, 可记作xRy；如果x,y?R, 则记作x y. 例：R={1,2,a,b}, S={1,2,a,b}.则R 是二元关系, 当a,b 不是有序对时，S 不是二元关系.根据上面的记法，可以写1R2, aRb, a c 等. 二、从A到B的关系与A上的关系 定义7.4 设A,B 为集合,A×B 的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B 的二元关系,当A=B 时则叫做A 上的二元关系. 例 A={0,1}, B={1,2,3}, 那么R1={0,2}, R2=A×B, R3=?, R4={0,1} R1, R2, R3, R4 是从A 到B 的二元关系, R3和R4同时也是A 上的二元关系.　 三、A 上重要关系的实例 定义7.5 设A 为任意集合,?是A 上的关系，称为空关系,EA ,IA分别称为全域关系与恒等关系,其中 EA = {x,y| x∈A∧y∈A} = A×A, IA = {x,x| x∈A}.　 例如, A={1,2}, 则 EA = {1,1,1,2,2,1,2,2} , IA = {1,1,2,2} . 特定集合上的小于等于关系LA、整除关系DA、包含关系R?定义如下： LA = {x,y| x,y∈A∧x≤y}, 这里A?R，R 为实数集合, DA = {x,y| x,y∈B∧x 整除y}, 这里A?Z* , Z*为非0 整数集合, R? = {x,y| x,y∈A∧x?y}, 这里A 是集合族.