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立体几何中---向量法求空间角. 二.直线到平面的距离 例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。 练习:如图, 练习: 结论1 结论2 * 空间的角： 空间的角常见的有： 线线角、线面角、面面角。 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求 范围内 的角； 斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角的范围也是 ； 两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是 。 总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。 (0, ] 2 p 异面直线所成角的范围： 思考： 结论： 一、线线角： 直线与平面所成角的范围： 思考： 结论： 二、线面角： l l 三、面面角： 二面角的范围： ②法向量法 注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 例1 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证：AO⊥平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小； （III）求点E到平面ACD的距离。 解：（I）提示;数量积为零 （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 所以异面直线AB与CD所成角的 余弦值为 （III）解：设平面ACD的法向量为 则 令 得 是平面ACD的一个法向量，又 所以点E到平面ACD的距离 例2、 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。 (1)证明：PA//平面EDB； (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。 A B C D P E G x y z A B C D P E G x y z (1)证明：设正方形边长为1，则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点 (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。 A B C D P E G x y z 所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 方向朝面内， 方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角 1、如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2。 求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值 (2)OS与面SAB所成角的余弦值 (3)二面角B－AS－O的余弦值 O A B C S x y z 【测试】 O A B C S x y z 1、如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2。 求：(1)异面直线SA和OB所成的 角的余弦值 O A B C S x y z 1、如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2。 求：(2)OS与面SAB所成角的余弦值 所以OS与面SAB所成角的余弦值为 O A B C S x y z 所以二面角B－AS－O的余弦值为 1、如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2。 求：(3)二面角B－AS－O的余弦值 一.求点到平面的距离 A P O 例1、已知正方体ABCD的边长为4，CG⊥面ABCD，CG＝2，E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 A B C D G E F y x z H O P A B C a 例2、如图，已知边长为的4√2正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA＝2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α间的距离。 P α x y z A B C F E G 三、面面距离 转化为线面距离或点面距离 练习：已知正方体中的棱长为1.求平面AB1C与平面A1C1D间的距离。 B A a M N n a b 一、求异面直线的距离 方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d