外区域上半线性波动方程解的整体存在性.pdfVIP

2007，27A(6)：1089—1097 数学物理学报 外区域上半线性波动方程解的整体存在性 ， 。毋海根 。杨晗 。刘娟 ( 中国工程物理研究院研究生部，北京2101信箱 北京100088； 河南理工大学数学系 焦作454000 0西南交通大学数学系 成都610031) 摘要：该文研究带耗散项的线性和半线性波动方程外问题．首先利用一个 Sobolev型不等式 得到了线性耗散波动方程在外区域上的整体能量衰减估计，此结果用来证明非线性项为 】u】 (2P Ⅳ／[Ⅳ一4] )的半线性波动方程解的整体存在性．为此，该文主要研究Ⅳ维(3 N 7)外区域上球对称解的情形． 关键词：半线性；波动方程；耗散；外区域． MR(2000)主题分类：35L05；35L70 中图分类号：O175 文献标识码：A 文章编号：1003—3998(2007)06—1089-09 1 引言 在本文中，我们研究外区域上波动方程的初边值问题解的整体存在性 utt一△u+ut=Iu} ， Q X(0，+。。)， (1．1) u(0，X)=uo(x)，uKO，X)=u1(_z)； u[oa=0， (1．2) 其中Q=BK0)= x∈RⅣ：}X}1)． 对于半线性波动方程的Cauchy问题 utt一△u+ut=Iufp， R X(0，+。。)， u(o，X)=uo(x)， ut(O，X)：Ul(X)， 已经有许多作者进行了研究，见文献f8，91及其参考文献．他们证明了上述初值问题在t一。。 时解的渐进性． 关于下述半线性波动方程混合问题 u托一△u十。(_z)ut=，(u)， Q X(0，+。。)， (1．3) u(o，X)=uo(x)，uKO，X)=u1 )； uloa=0， (1．4) 这里f(u)：}ul u， 0，Q是RⅣ中的外区域，M．Nal(ao[。， ]证明了广义解的整体存在性， 在那里边界没有要求任何几何条件，Ⅳ和 有着一定的限制，乘子方法在其中起着重要作 用．本文在一定条件下拓展了Ⅳ和 的范围． 收稿日期：2005-03-21；修订日期：2006-07-02 E—mail：wuhaigen@hpu．edu．cn；hanyang95@263．net 基金项目；国家自然科学基金10301026)资助 1090 数 学 物 理 学 报 、 1．27A 与之不同，R．Ikehata引入一种方法(参见文献[2，4])处理单位球外区域上球对称解并 得到了解和能量的更好的衰减估计，那里非线性项为l ul ，2P∞．但是文献[4]的结果严 格依赖于两个不等式，而这两个不等式仅在二维外区域上成立．在本文中，我们利用更一般 的不等式推导出Ⅳ维(3 N 7)外区域上2P A [Ⅳ一4]+时相应的衰减估计．至于 N=1时的外问题，读者可参见文献[3，6]． 2 记号和结论 全文中， l1． 和 【l_【1日m分别表示LP(Q)范数 (1 P ∞)和H (Q)范数．为方便 计，[1．1I表示 。范数． 设7’0，我们记 (0)={ ∈R ：lXl7’)， (0)={ ∈R ：lXlr)． 另外，规定三个函数空间 i。d(【2)={札∈L (【2)：札( )=札(1 1))， 明． 。d(【2)={札∈Hi(【2)：札( )