正弦定理的证明.doc

正弦定理的证明 篇一：正弦定理的几种证明方法 正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义， C 有CD?asinB,CD?bsinA。 由此，得 a sina sin? b sin，? 同理可得 c sin? b sin，A D B b 故有 ? b sinc sin.从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有CD?asin?CBD?asin?ABC，CD?bsinA 。由此，得 a sinA ? b sin?ABC，? 同理可得 c sinC. c sinC ? b sin?ABC a 故有 a sinA b sin?ABC ? 由(1)(2)可知，在?ABC中， a sinA ? b sinB ? c sinC B D 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 a sin? b sin? c sin. 1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中(转 载于:wWW.cSsYq.cOM 书业网)，我们常遇到问题： 已知点A，点B之间的距｜AB|，可测量角A与角B， 需要定位点C，即： 在如图△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c， 求边AC的长b 解：过C作CD?AB交AB于D，则 DC? AD?ccosA BDcsinAcsinAcosC ??sinCtanCsinCcosC b?AC?AD?DC?ccosA? csinAcosCc(sinCcosA?sinAcosC)csinB ?? sinCsinCsinC 推论： bc ? sinBsinC abc ?? sinAsinBsinC 同理可证： 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC＝a, CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足为D.则Rt△ADB ADA 中,sinB? ,∴AD=AB·sinB=csinB. AB 1111 ∴S△ABC=a?AD?acsinB.同理,可证 S△ABC=absinC?bcsinA.  2222111 ∴ S△ABC=absinC?bcsinA?acsinB.∴absinc=bcsinA=acsinB, C D 222 sinCsinAsinBabc ????在等式两端同除以ABC,可得.即. cabsinAsinBsinC 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与 B 的夹角为 , 90°-A,j与的夹角为90°-C.由向量的加法原则可得??j的数量积运算,得到j?(?)?j? 由分配律可得?∴|j| 为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量 j??j?. Cos90°+|jCos(90°-C)=|jCos(90°-A).j ac ?. A C sinAsinC ∴asinC=csinA.∴ 另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得 cb ?. sinCsinB (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与为90°-C,j与 的夹角 的夹角为90°-B)∴ abc ??. sinAsinBsinC (2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与与 垂直的单位向量j,则j 的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C. A 由??,得j·+j·, =j· ac ? sinAsinC 即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与角为90°+B.同理,可得4.外接圆证明正弦定理 B 的夹角为90°+C,j与夹 abcbc ???.∴sinBsinCsimAsinBsinC 在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆心, 连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所 对的圆周角相等可以得到 cc ?2R.∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′=sinC?sinB??.∴ 2RsinC ababc ?2R,?2R.???2R.同理,可得∴ sinAsinBsinAsinBsinC 这就