4-2绘制根轨迹的基本原则.DOC

第四章 根轨迹法 []：　　　掌握系统根轨迹所揭示出的系统极零点对系统性质的影响，熟练掌握系统根轨迹图的作图步骤，会根据系统的根轨迹分析系统的性质。 [主要内容]：　　　　1．　　　2．　　 基于系统稳定的充要条件，反馈系统的稳定性由其闭环极点唯一确定。由已知反馈系统的闭环极点与零点在s平面分布的情况下，应用拉氏变换方法可以毫无困难地研究反馈系统对输入信号的响应特性。因此，确定反馈系统的闭环极点与零点在s平面上的分布，特别是从已知的开环极点与零点的分布确定相应的闭环极点与零点的分布，是进行反馈系统性能分析首先需要解决的问题。其次是研究参数变化对反馈系统的闭环极点与零点在s平面分布的影响。 反馈系统的闭环极点就是该系统特征方程的根。这样，由已知反馈系统的开环传递函数确定其闭环极点分布，实际上就是解决系统特征方程的求根问题.一般来说。当特征方程的阶数较高时，求根过程是很复杂的，特别是在系统参数变化情况下求根，更是需要进行大量的计算，而且还不易直观看出参数变化对系统闭环极点分布的影响。可见，这种直接求解特征方程的方法是很不方便的。对此，伊凡思(W.R.Evans)提出了一种图解反馈系统特征方程的工程方法，该方法称为根轨迹法。 根轨迹法是在已知反馈系统的开环极点与零点分布基础上，通过系统参数变化图解特征方程，即根据参数变化研究系统闭环极点分布的一种图解法。应用根轨迹法通过简单计算便可确定系统的闭环极点分布，并同时可以看出参数变化对闭环极点分布的影响。 4-1根轨迹方程 根据伊凡思提出的方法，用来绘制根轨迹的方程式称为根轨迹方程。根轨迹方程得自反馈系统的特征方程，其求取步骤是： 1.写出反馈系统的特征方程，即 式中 G(s) ——反馈系统前向通道传递函数；H(s) ——反馈系统主反馈通道传递函数； G(s)H(s) —— 反馈系统的开环传递函数；“+”号对应负反馈系统；“-”号对应正反馈系统。 2绘制反馈系统根轨迹的根轨迹方程，即 （负反馈系统） 及 （正反馈系统） 绘制反馈系统根轨迹之前，需对根轨迹方程中的开环传递函数G(s)H(s)化成通过极点与零点表达的标准形式，即 式中: k ——绘制根轨迹的可变参数，称为惨变量， 0≤k∞如例1中的k=2K； pi ——(i=1，2，3，…，n)为系统的开环极点； zi——(i=1，2，3，…，m)为系统的开环零点。 注意:开环传递函数的标准形式必须具有下列特征 1) 参变量k必须是G(s)H(s)分子连乘因子中的一个； 2) G(s)H(s)必须通过其极点与零点来表示； 3) 构成G(s)H(s)分子、分母的每个因子（ s-zi) (i=o，1，2 ，…，m )及（ s-pi) (i=o，1，2 ，…，n)中s的项系数必须是+1。 4.得到的根轨迹方程为180((负反馈系统)根轨迹，即 或写成 (幅值条件) (相角条件) 具有标准形式的开环传递函数求得的根轨迹方程为0((正反馈系统)根轨迹，即 或写成 (幅值条件) (相角条件) 5. 在上列各式中| G(s)H(s )s|、及∠G(s)H(s)分别为开环传递函数的模与相角，由式（4-9）求得为 |s-zi|、|s-pi|——式中幅向量差s-zi 、 s-pi之模； ∠（ s-zi )、∠(s-pi )、幅向量差s-zi 、 s-pi之相角或复角。 综上分析得知，凡同时满足幅值条件与相角条件，就是在给定参数下反馈系统特征方程的根，或为反馈系统的闭环极点。由于根轨迹包含参变量k在0~∞范围内变化时反馈系统特征方程的全部根，所以在s平面上只要能满足相角条件的点si都将是对应一定参变量ki的系统特征方程的根。也就是说，在s平面上，凡能满足相角条件的点所描述的图形便是系统的根轨迹图。这说明，绘制反馈系统根轨迹图所依据的仅仅是其根轨迹的相角条件。而根轨迹方程的幅值条件，只用于计算根轨迹上确定点si对应的参变量值ki。 4-2 绘制根轨迹的基本原则 设已知反馈系统的开环传递函数具有如下标准形式： 式中zi(i=1，2，…，m) 、 pi(i=1，2，…，m)