华中科技大学《线性代数》线代2-02.PPTVIP

注意：矩阵运算性质和实数运算的差异：　 1、 矩阵不满足交换律， 例 则 2、矩阵乘法不满足消去律 AX=BX ? A=B ？ 上述性质都有例外，例如： 则有 这时称A 与B乘法可交换 线性方程组 矩阵形式： 记为： A m?n X n?1 = b m?1 . 解 例4 由此归纳出 用数学归纳法证明 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时， 所以对于任意的 都有 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例 １、转置矩阵 四、矩阵的其它运算 转置矩阵的运算性质 例5 已知 解法1 解法2 矩阵转置的特殊矩阵：对称阵与反对称矩阵 定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 说明 例6 设列矩阵 满足 证明 例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 证明 所以C为对称矩阵. 所以B为反对称矩阵. 命题得证. 本章的内容要点： 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 矩阵运算产生的特殊矩阵 　　（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律. 　　（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算. 注意的要点 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同. 思考题 成立的充要条件是什么? 思考题解答 答 故 成立的充要条件为 矩阵的运算 矩阵的加法与数乘矩阵 矩阵的乘法及其性质 矩阵的其他运算 矩阵的转置 方阵的行列式 课程邮箱： algebra13hust@126.com 密码： we131118 2. 2 矩阵的运算 在矩阵集合上定义基本的矩阵运算 矩阵的加法和数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 定义的基本思想 依矩阵的相等性原则，给出所定义运算的结果矩阵的阶数和元素. 研究运算的基本性质. １、定义 一、矩阵的加法 设有两个 矩阵 则矩阵 与 的和记作 ，规定为 只有当两个矩阵是同型矩阵时，进行加法运算才有意义. 加法本质上是对应的元素相加. 例1 2、 矩阵加法的运算规律 与数的加法性质一样 1、定义 二、数与矩阵相乘(数乘矩阵） 例题：计算 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. （设 为 矩阵，k, l为数） 两个矩阵的线性运算: k1A+k2B 三、矩阵与矩阵相乘 定义的基本思想 希望将线性方程组类似于数的方程表示出来. 所定义的矩阵乘法要能将线性方程组表示成为系数矩阵与变元向量相乘的形式： 定义方法分析：系数、变元、常数项三类量的分离处理 课程邮箱： algebra13hust@126.com 密码： we131118 １、定义2.4 ： 矩阵的行列积 矩阵A的第 i 行Ai 与矩阵B 的第 j 列Bj 运算需要Ai和Bj 的元素个数相同！ 2 矩阵的乘法 定义 设 是一个 m?n 阶 矩阵， 是一个 n?p的 矩阵，矩阵A和B分别按行和列表示为: 则有 乘积(AB)的结构分析 （AB）的行？ （ AB）的列？（AB）的元素？ 例１ 设 例2 故 解 例3 设 计算矩阵乘法AB和BA 有可能 AB与 BA都有意义，一般AB ?BA。 矩阵乘法不满足交换律！ 例4 设矩阵A, B , C, D 为如下给定： 计算AC，BC，CD， AC=BC, 但是 A ?B.