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2.6 矩阵的秩 (The rank of matrix) 矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 定义2.14 r(A) ? min{ m, n}; A 可逆，则R(A)=n 例1 解 例2 解 首先计算A的3阶子式 例3 解 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的数目！ 问题：经过初等变换,矩阵的秩会变吗？ 证 二、矩阵秩的求法 定理2.7 初等变换不改变矩阵的秩 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变． 证毕 初等变换求矩阵秩的方法： 用初等行变换将矩阵变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例4 解 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 例2的另解 显然，非零行的行数为2， 简单方法！ 秩的等式和不等式 秩的等式 P，Q为可逆矩阵，则 R(PAQ)=R(A) k?0，R(kA)=R(A)， R(A)=0 ? A=0 秩的不等式： R(A) ? min{ m, n}; 定理2.9 R(AB)? min{R(A), R(B)} 定理2.11 R(A+B) ?R(A)+R(B) 定理2.10 R(AB) ??R(A)+R(B)-n AB=0, R(A)+R(B) ?n 例 1 设矩阵A是n 阶方阵，证明对A的伴随矩阵A*的秩，成立如下结果： 例2（ p67，eg22） A2=A? R(A)+ R(I-A)=n 三、小结 (2)初等变换法 1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩). (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);
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