华中科技大学《线性代数》线代3-02.PPTVIP

3.3 n 维向量的线性相关性 Linearly Dependency 概述 讨论向量组中向量之间的关系 向量之间的关系，主要由线性组合、线性相关和线性无关构成 重点：理解线性相关性的内在含义 特点：比较抽象 一、线性相关性的概念 1 线性组合 定义3.3 线性组合的意义和表示形式 定义要点分析： ki 不全为零的含义 线性无关的直接描述： 定义３.4 2、向量组线性相关性 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 1 2 3、 线性相关的几何意义 例１ 例2 证明下列命题 含零的向量组一定线性相关 含两个向量的向量组线性相关的充要条件是两个向量成比例。 2 线性相关的基本定理 定理3 . 1 向量组{?1，?2，?，?m}线性相关的充要条件是其中至少有一个是其余向量的线性组合。 要点： 证明 定理的结论辩析 进一步的结论： 向量组{?1，?2，?，?m}线性相关， {?1，?2，?，?m-1}线性无关，则?m是其余向量惟一的线性组合。 向量组线性无关的充要条件： 向量组{?1，?2，?，?m}线性无关的充要条件是其中任何一个都不是其余向量的线性组合。 意义 例２ 3.4 向量组的极大线性无关组 一、等价的向量组 向量组T1 能由向量组T2线性表示 向量组等价． 1 定义3.5 2 向量组等价的矩阵表示 例1 证明向量组R3 和向量组{ }等价. 3 等价向量组的基本结果 定理3.3 设向量组T1可以由T2线性表示，且 r s，则向量组T1线性相关. 推论1设向量组T1可以由T2线性表示，且向量组T1线性无关，则必有r ? s. 推论2 任何n+1个n维向量必相关。 推论3 两个等价的线性无关组所含的向量个数相等。 二、 向量组的极大线性无关组 定义3.6 则称部分组T0是向量组T的极大线性无关组 定理3.4 一个向量组的任何极大线性无关组所含的向量个数相等。 例1 向量组 R3 的极大无关组分析。 向量组的秩 向量组的秩 定义3.7 向量组 的秩被定义为的极大线性无关组T0所含的向量的个数。 向量组秩的性质： 定理3.5 等价的向量组秩相等，反之不成立。 向量组：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合． 三、向量组的秩与矩阵秩的关系 1 向量组与矩阵 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. （1） 定理3.6 矩阵A的行初等变换不改变矩阵A的列向量组的线性关系。 证明要点： A的列向量组的线性关系。 定理的证明 定理的应用： 当矩阵是行阶梯形时，它的列向量组的线性关系被显示出来。 利用矩阵的行标准形来讨论矩阵列的线性关系。 例1 p87，eg12 （2）定理3.7 R（A)=A的行向量组的秩=A的列向量组的秩 定理的应用：应用矩阵的秩求向量组的秩 2 基本理论结果 例2 p88,eg13　设? 1 =（1，4，1，0，2）T， ?2=（2，5，-1，-3，2）T ?3=（-1，2，5，6，2）T， ?4=（0，2，2，-1，0）T （1）求向量组的秩，讨论它的线性相关性。 （2）求向量组的极大无关组。 （3）把其余的向量表示为极大无关组的线性组合 四、向量组线性相关性的判别 例3 p88, eg14 设?1， ?2 ，…，?n线性无关，讨论下列向量组的线性相关性： ? 1 = ? 1 + ?2， ? 2 = ?2 +?3 ?3= ?3 +?4，…，? n-1= ? n-1+? n， ?n=? n +?1 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 　　１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； 　　２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） 　　３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点） 四、小结 思考题 证明　（１）、（２）略． （３）充分性 必要性 思考题解答