华中科技大学《线性代数》线代6-01.PPTVIP

4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 于是所求正交变换为 解 例3 Example 2 辨别下面二次型的图形 5x2-4xy+2y2=6 解: A= , ?1= 1, ?2= 6. Q= 注解: 矩阵A 的特征向量给出图形主轴的方向, 特征值给出主轴的半径. 化为标准型，并指出 表示何种二次 曲面. 求一正交变换，将二次型 思考题 思考题解答 第6章 二次型 概述 内容： 二次型的基本问题 二次型的化简与矩阵的合同关系 正交变换化二次型为标准形 二次型的正定性 重点 用正交变换化二次型为标准形 难点： 二次型的正定性 一、二次型及其标准形的概念 称为二次型. 1、定义6.1 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式）． 例1 都为二次型. 为二次型的标准形. 为二次型的规范形. 1．二次型的函数表示 2、 二次型的表示方法 2．二次型的矩阵表示 令 aii=bii 1? i ? n； aij=(bij+bji)/2 A=[a ij] (n?n) ; X=(x1,x2,…,xn)T f(x)= XTAX 3、二次型的矩阵及秩 　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 解 例2 写出下列二次型的矩阵表示： 二次型的几何意义 平面R2 上的二次型：q(x,y)= ax2+2bxy+cy2 q(x,y)=k 表示平面上的二次有心曲线， 当b=0 时方程没有交叉项；又如果 k ? 0, 方程可写 a? x2+c? y2 =1 二次有心曲线是用平面截双叶双曲面形成的曲线 a?和c? 大于零时为椭圆类曲线 a? c? 符号相反时为双曲线 2 空间上的R3二次型： q(x,y,z)=k 表示空间上的二次有心曲面，包括椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面。 圆 椭圆 双曲线 椭球面 单叶双曲面 双叶双曲面 设 6.2 二次型的标准形 　　二次型的主要问题：寻求可逆的线性变换， 将二次型化为标准形． C为可逆矩阵 即 为对称矩阵. 二次型相应的矩阵变化 可逆线性变换将二次型变为二次型. 用可逆线性变换将二次型化为标准形等价于求矩阵C，使得 是对角矩阵. 6.2.1 矩阵的合同 定义6 .4 矩阵A，B为n 阶方阵，如果存在可逆矩阵P ，使得PT AP=B，则称矩阵A合同于矩阵B. 矩阵合同的性质： 合同的不变性： 合同的矩阵秩相同； 合同的矩阵对称性不变； 正交合同 如果存在正交矩阵C ，使得CT AC=B，则称矩阵A正交合同于矩阵B. CT AC= C-1 AC=B 6.2.2 化二次型为标准形的方法 基本定理： 定理6.1任何二次型都可以用可逆线性变换化为标准形和规范形。 定理6.2 对任何矩阵A，存在可逆矩阵C和对角矩阵D ，使得CTAC=D。 基本方法： 1 Lagrange配方法 2 行列对称初等变换 3 正交变换 6.3 正交变换化二次型为标准型 正交变换的定义与性质 C为正交矩阵，则 x=Cy 是正交变换。 定理6.3 定理6.4 正交变换的结果分析 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例2 从而得特征值 2．求特征向量 3．将特征向量正交化 得正交向量组