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中的作用和所处的地位-高等代数
主讲:郑兆娟 Email:zjzheng@xmut.edu.cn 谈谈酉空间在《高等代数》中的作用和所处的地位 一、酉空间的定义 * * * * * * * * 二、为什么重视酉空间的讲授 1、酉空间在其他学科中的应用很广: 《一类基于酉空间和正交空间上的LDPS码》 (LDPS码是一种可接近AMGN信道容量的编码技术,密码学) 《Hermite矩阵酉相似对角化的物理意义》(物理) 《多尺度方向性Hermite变换在低信噪比图像边缘检测中的应用》(通信系统) * * 二、为什么重视酉空间的讲授 2、从欧式空间到酉空间的平行开拓并不是显然的。 复内积的定义对于第一个变量是半线性的。 两向量的夹角 * * 二、为什么重视酉空间的讲授 2、从欧式空间到酉空间的平行开拓并不是显然的。 复内积的定义对于第一个变量是半线性的。 两向量的夹角 三、为什么先介绍复内积与酉空间,再介绍实内积与欧氏空间 1、多项式时也是由复数域上分解的情况进而推导出实数域上分解的情形。 2、酉空间完再介绍欧氏空间只需把注意力放在欧氏空间特有的性质上。 * * 3、在酉空间的框架下,可以对正规变换证明谱分解定理,作为特例,Hermite变换、反Hermite变换、酉变换也可对角化,而且证明并不更复杂。然后通过复化,证明欧氏空间中的对称变换可对角化,并求出反对称变换和正交变换的标准型(利用后面这点,可以证明几何上的一个结果:二维平面上的运动只有平移、转动和反射;三维空间上的运动只有平移、绕轴旋转、滑移反射和镜面旋转)。 酉空间上的线性变换 * * 酉空间上的线性变换 * * 酉空间上的线性变换 * * 酉空间上的线性变换 * * 复化 * * 复化 * * 复化 * * 欧氏空间上的线性变换 * * * * 正交变换 * * 正交变换的几何意义 * * 正交变换的几何意义 * * 4、以往的写法突出了欧氏空间,却让学生几乎完全忽略了复内积和酉空间。 大学四年,除了《复变函数》课,学生几乎很少接触到复数。无论是代数(高等代数)、几何(解析几何与微分几何)还是分析(泛函分析),都基本只限于实数情形,而不讲复数情形。我们采取这种讲法,部分目的也是希望对这种现状做适当的矫正。 * * 四、困惑:为什么大多《高等代数》的教材对酉空间介绍很少? * * Paul R.Halmos 《Finite-Dimensional Vector Spaces》 谢谢! * * 主讲:郑兆娟 Email:zjzheng@xmut.edu.cn
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