大学数学课里的建模思想.pptVIP

案例1：巧分蛋糕 今天是你的朋友的生日，你为她定给做了一块边界形状任意的蛋糕。请向你的朋友说明， 在蛋糕上任意一点，你都能过这点切一刀，使切下的两块蛋糕面积相等与你的朋友分享。如果你能够做到这一点，那么浪漫的生日庆祝会还会多了几分智慧的光芒，相信你的朋友会对你高看一眼。 1.1.问题分析 数学建模的思想提示我们：蛋糕不是蛋糕，切一刀也不是切一刀。 假设：蛋糕厚度是均匀的。 不要比划如何去分蛋糕，你只要说明你可以分蛋糕就可以了。 将蛋糕放在坐标系中，蛋糕是一个区域，切一刀表示一条直线。 1.2.问题的数学描述 问题归结为如下一道几何证明题. 已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线（无论什么形状），P是曲线所围区域上任一点. 求证：一定存在一条过P的直线，将这区域的面积二等分. 1.3.问题的证明 零点定理的应用 以P点为旋转中心，将 按逆时针方向旋转，面积 、 就连续地依赖于角 变化，记为 、 ， 并设 . 零点定理的应用 函数 在 上连续,且在端点异号： 根据零点定理，必存在一点 ，使 ，即 。 过P作直线，使之与x轴正向的夹角成 ，该直线即为所求. 声明 本故事纯属杜撰 如有转载，请注明杜撰人 否则将追究法律责任 2.1.问题分析 这是一个苹果砸到头有多痛的问题，所以先要看看如何表示痛，实际上在苹果大小一定的情况下，痛的主要决定因素就是速度的大小。 如何表示速度？而且是一点处的速度。 从已经知道的知识点中找。于是牛顿查资料，发现当时有一个问题是解决了的，当时牛顿的时代是知道平均速度的概念的，所以要先从已知的概念开始 平均速度是一段时间内物体经过的路程，路程是时间的函数，设为s = s(t) 还必需将一点扩展到一段。碰到牛顿头顶时间为t0,时间段可以用 表示。 于是这一段平均速度= 如何到一点？查资料，求极限。 2.6.启示 由一点到一段：思考问题的方式。 由已知到未知：由平均速度到一点速度，借助极限概念。 案例3：眼睛转动的速度 从教室的左边走到右边，匀速前进，大家的眼睛一定在看着我。 请问，当我走到黑板的中间时，中间一位同学的眼睛转动速度是多少？ 3.1.问题分析 画一幅示意图是比较好的，图像图形也是基本的数学语言。 数学建模要设一些量。我到中心距离---我的速度，学生眼睛转动角度---转动速度。 假设我移动速度是5，那位同学到讲台距离是5. 3.2.问题的求解 案例4：如何最快到达山顶 在一个伸手只见五指的夜晚，你正在珠穆朗玛峰的半山腰，请问你应该怎么办才能最快到达峰顶？ 4.1.问题分析 这个问题显然是在最后一句话，如何最快到达山顶。设想一下，主要确定什么要素？两个，一个是方向，一个是速度。这不是百米赛跑，走的是直道。问题中告诉你是伸手只见五指，表明你是需要确定方向是可能的。 人生也一样。两者缺一不可。 要确定一个和速度和方向都有关系的量。速度用什么来表示？导数。如果二者统一的话，应该确定方向导数的问题。 下面具体看如何实施。 4.2.模型的建立 方向导数的定义 方向导数的定义形式上应该是类似于 但有些问题，做进一步的改进，不好算。 方向导数的定义 4.2.模型的推广：热锅上的蚂蚁 4.3.实际应用：定向越野 定向越野作为一种新兴的，利用地图和指北针导航的运动，在世界各地正吸引着越来越多人参与并为之狂热。它既是一种户外休闲、娱乐运动，又是一种竞技运动。参加定向运动除需要指北针和地图外，不需要特殊的设备，是一种较为经济的运动项目。 案例5：汽车漏了多少油 从家里到讲课地点开车，发现油箱破了，请问一共漏了多少油？ 要求：不用称重工具，但线路清楚，速度知道。 5.1.假设 汽车行走的线路在平面上，是已知的曲线。 汽车每一点处的速度也知道。 5.2.问题的分析 5.3. 过程分解 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行。 分割 求和 取极限 近似值 精确值 5.4.对弧长的曲线积分的概念 被积函数 积分弧段 积分和式 谢 谢 聆 听！ 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在